ГЛАВА 8. ПЕРЕМІННІ РЕНТИ. КОНВЕРСІЯ РЕНТ
У практиці зустрічаються випадки, коли розміри членів потоку платежів змінюються в часі. Такі зміни можуть бути пов'язані з будь-якими обставинами об'єктивного порядку (наприклад, умовами виробництва і збуту продукції), а іноді і випадковими факторами. Окремим випадком такого потоку є змінна рента. Змінної рентою називається потік платежів, у якого виплати змінюються в часі за заданим законом (або умовам розвитку), а інтервали між виплатами постійні.
Розглянемо деякі типи змінних рент.
Річна рента постнумерандо зі зміною виплат згідно із законом арифметичної прогресії
Даний вид ренти ще називають рентою з постійним абсолютним приростом платежів. Нехай виплати змінюються згідно із законом:
де R - виплата в кінці першого року, a - постійне річне збільшення виплат (темп росту платежів), n - термін ренти.
Визначимо сучасну вартість такої ренти з суми:
Помножимо це рівність на (1 + r) і віднімемо з обох частин висловлювання відповідні частини рівності (8.1), після чого отримаємо:
де - дисконтний множник за ставкою r;
- коефіцієнт приведення постійної річної ренти.
В результаті формулу для сучасної вартості річної ренти зі змінами платежів за законом арифметичної прогресії можна записати у вигляді:
Якщо відома сучасна вартість річної ренти, то її нарощена сума може бути визначена за формулою:
Підставивши в цю формулу вираз для сучасної вартості (8.2), отримаємо:
Приклад 8.1. Очікується, що збут продукції буде збільшуватися щороку на 2,5 тис. Руб. (Або зменшуватися на 2,5 тис. Руб.) Протягом 10 років при надходженні грошей в кінці кожного року. Перша виплата дорівнює 50 тис. Руб. Нарахування відсотків здійснюється за ставкою 12% річних. Визначити сучасну вартість і нарощену суму змінного потоку платежів.
Сучасна вартість досліджуваного потоку платежів визначається за формулою (8.2). Попередньо знайдемо коефіцієнт приведення ренти аn; r:
Для а = 2,5 тис. Руб. сучасна вартість потоку платежів дорівнює:
Для а = -2,5 тис. Руб. сучасна вартість потоку платежів дорівнює:
Нарощена сума досліджуваного потоку платежів визначається за формулою (8.3). Попередньо знайдемо коефіцієнт нарощення ренти sn; r:
Для а = 2,5 тис. Руб. нарощена сума потоку платежів дорівнює:
Для а = -2,5 тис. Руб. нарощена сума потоку платежів дорівнює:
Річна рента постнумерандо зі зміною виплат
за законом геометричної прогресії
Даний вид ренти ще називають рентою з постійним відносним приростом платежів. Нехай виплати змінюються згідно із законом:
де R - виплата в кінці першого року, q - темп зростання ренти або знаменник прогресії, n - термін ренти.
Сучасна вартість такої ренти визначається із суми:
Якщо темп зростання ренти представити у вигляді q = 1 + k. де k - темп приросту ренти, то формулу для сучасної вартості річної ренти зі змінами платежів за законом геометричної прогресії можна записати у вигляді:
Зауважимо, що приріст може бути як позитивним (k> 0), так і негативним (k <0).
Нарощена сума ренти знаходиться як:
Приклад 8.2. Очікується, що збут продукції буде збільшуватися щороку на 5% (або зменшуватися на 5%) протягом 10 років при надходженні грошей в кінці кожного року. Перша виплата дорівнює 50 тис. Руб. Нарахування відсотків здійснюється за ставкою 12% річних. Визначити сучасну вартість і нарощену суму змінного потоку платежів.
Сучасна вартість досліджуваного потоку платежів визначається за формулою (8.4). Для k = 0,05 сучасна вартість потоку платежів дорівнює:
Для k = -0,05 сучасна вартість потоку платежів дорівнює:
Нарощена сума досліджуваного потоку платежів визначається за формулою (8.5). Для k = 0,05 нарощена сума потоку платежів дорівнює:
Для k = -0,05 нарощена сума потоку платежів дорівнює:
Види конверсій. У практиці іноді стикаються з випадками, коли на етапі розробки умов контракту або навіть в ході його виконання необхідно в силу будь-яких причин змінити умови виплати ренти. Інакше кажучи, мова йде про конвертування умов, що передбачаються при виплаті фінансової ренти. Основними видами конверсії є:
1) заміна ренти разовим платежем (викуп ренти);
2) заміна разового платежу рентою (розстрочка платежу);
3) об'єднання кількох рент в одну (консолідація рент);
4) заміна ренти з одними умовами на ренту з іншими умовами.
Якщо передбачається, що конверсія не повинна приводити до зміни фінансових наслідків для кожної з сторін-учасниць, то конверсія повинна ґрунтуватися на принципі фінансової еквівалентності (див. Гл. 6).
Викуп ренти. Даний вид конверсії зводиться до заміни ренти одноразовим платежом.Іскомий розмір викупу має дорівнювати сучасної вартості викуповується ренти. Для вирішення завдання вибирається та чи інша формула розрахунку сучасної вартості потоку платежів (в залежності від умов погашення заборгованості). Застосовувана при розрахунку сучасної вартості процентна ставка повинна задовольняти обидві беруть участь сторони.
Розстрочка платежів. Якщо є зобов'язання сплатити певну велику суму і сторони згодні, що заборгованість буде погашена частинами, тобто в розстрочку, то її зручніше здійснити у вигляді виплати постійної ренти.
Для вирішення завдання прирівнюємо сучасну вартість ренти, за допомогою якої проводиться розстрочка, сумі боргу. Завдання зазвичай полягає у визначенні одного з параметрів цієї ренти - члена ренти (платежу) або її терміну - за умови, що інші параметри задані. Такого роду завдання розглядалися в п. 7.4 (стор. 63), тому тут немає сенсу зупинятися на них.
Об'єднання (консолідація) рент. Об'єднання рент полягає, як правило, в заміні декількох рент однієї. В цьому випадку з принципу фінансової еквівалентності слід рівність сучасних вартостей замінює і замінних (консолідованих) рент, що відповідає рівності:
де А - сучасна витрати на заміну ренти, Аq - сучасна вартість q -й замінної ренти.
Об'єднуються ренти можуть бути будь-якими: негайними і відстроченими, річними і p -Термінова і т.д. Що стосується замінює ренти, то слід визначити її вид і всі параметри, крім одного. Необхідно розрахувати розмір невідомого параметра виходячи з рівності (8.6). Цим параметром є або член ренти, або її термін.
Так, якщо заданий термін замінює негайної ренти постнумерандо n. то знаходиться платіж замінює ренти з умови еквівалентності (8.6):
У свою чергу, якщо задається сума платежу (розмір члена замінює ренти) і його періодичність, то знаходиться новий термін ренти. Зазвичай завдання зводиться до розрахунку n по заданому значенню коефіцієнта приведення аn; r. Для негайної ренти постнумерандо маємо:
Якщо значення відомо, то, визначивши на основі (8.8) величину n. отримаємо:
Приклад 8.3. Три ренти постнумерандо - негайні, річні - замінюються однією відкладеної на три роки рентою постнумерандо. Згідно з домовленістю замінює рента має термін 10 років, включаючи відстрочку. Характеристики замінних рент:
Rq = 100; 120; 300 тис. Руб. терміни цих рент: 6; 11 і 8 років. Перерахунок здійснюється за складною ставкою відсотків 20% річних. Визначити замінює відкладений платіж.
1) Визначимо суму сучасних вартостей замінних рент (табл. 8.1).
2) Знаючи суму сучасних вартостей замінних рент, визначимо розмір замінює відкладеного платежу:
R = 960,189 тис. Руб.
3) Якщо б замінює рента була негайною, без відстрочки, то платіж був би рівний:
Продовжимо приклад. Нехай тепер заданим є не термін, а сума річного платежу, наприклад, 1500 тис. Руб. і необхідно знайти термін замінює ренти. В даному випадку на початку визначається сучасна вартість негайної ренти, потім розраховується її термін.
За формулою (8.9) отримаємо:
Округляем відповідь до цілого меншого або цілого більшого (для кредитора - до меншого n. Позичальника - до більшого n). В даному випадку - 3 або 4 років і компенсуємо нестачу покриття боргу або надлишки (див. Пояснення в п. 7.4) при визначенні терміну ренти. ·
Приклад 8.4. Три ренти замінюються однією р - термінової рентою з щомісячними виплатами 3000 руб. в місяць. Параметри замінних рент:
1) річна рента з щорічними виплатами 10000 руб. в рік протягом 7 років, на які нараховуються відсотки за ставкою 15% річних;
2) річна рента з щорічними виплатами 10000 руб. в рік протягом 7 років, на які нараховуються відсотки за номінальною ставкою 15% річних, причому відсотки нараховуються поквартально;
3) рента з щорічними надходженнями 10000 руб. в рік протягом 7 років, на які нараховуються відсотки за ставкою 15% річних, причому виплати здійснюються поквартально, а відсотки нараховуються щомісяця.
Перерахунок здійснюється за процентною ставкою 18% річних. Визначити термін замінює ренти.
Рішення. При складанні рівняння еквівалентності знаходять сучасну вартість кожної з замінних рент, підсумовують їх і прирівнюють цю суму сучасної вартості замінює р - термінової ренти, тобто:
1) Сучасна вартість першої замінної ренти дорівнює:
2) Сучасна вартість другої замінної ренти дорівнює:
3) Сучасна вартість третьої замінної ренти дорівнює:
4) Сума сучасних вартостей трьох замінних рент дорівнює:
5) Вирішуючи рівняння (*) щодо n. отримаємо:
Підставивши сюди умови прикладу і суму сучасних вартостей трьох замінних рент, знайдемо:
Округлимо термін ренти до 5 років і уточнимо величину щомісячної виплати. Щорічна виплата замінює ренти визначається за формулою:.
Зміна параметрів рент
Зміна хоча б однієї умови ренти по суті означає заміну однієї ренти інший. Така заміна також базується на принципі фінансової еквівалентності. Слід врахувати, що мається на увазі рівність сучасних вартостей цих рент за умови однакової процентної ставки. Розглянемо кілька випадків такої заміни.
Заміна негайної ренти на відстрочену. Нехай є негайна рента постнумерандо з параметрами R1. n1 і процентною ставкою r. Для неї необхідно відстрочити виплати на t років, тобто замінити на відстрочену ренту з параметрами R2. n2. t (t не входить в строк ренти). Якщо заданий термін, то визначається R2. і навпаки. Розглянемо першу задачу за умови, що n2 = n1 = n. Для цього випадку справедливо рівність:
Інакше кажучи, член нової ренти дорівнює нарощені за час t члену замінної ренти.
де t - тривалість відстрочки.
Приклад 8.5. За контрактом є домовленість здійснити платежі щорічно по 2 млн. Руб. протягом 8 років. Змінилися умови: рента відкладається на 2 роки без зміни терміну самої ренти, процентна ставка для пролонгування 20% річних. Визначити новий платіж з урахуванням відстрочки.
Рішення. Відповідно до формули (8.10) отримаємо:
Таким чином, відмова від платежу в 2 млн. Руб. збільшує щорічні виплати на 0,88 млн. руб. Якщо ж одночасно із зсувом початку виплат термін ренти збільшується, наприклад, до 11 років замість 8 (n2 = 11), то за формулою (8.11) знаходимо:
Визначимо тепер термін нової ренти за умови, що розмір члена ренти залишається без змін. Нехай виплата ренти відкладається на t років. Тоді з рівності
Приклад 8.6. Рента c умовами R = 2 млн. Руб. n = 5 років, r = = 8% відкладається на 3 роки без зміни сум виплат. Необхідно знайти новий термін і збалансувати результат.
Рішення. За формулою (8.12) отримаємо:
Таким чином, відмова від негайної виплати ренти обійдеться в 1,7 року збільшення терміну ренти. Нехай тривалість нової ренти (без урахування відстрочки) дорівнює 6 років. Визначимо сучасну вартість такої ренти з урахуванням відстрочки:
Знайдемо сучасну вартість замінної ренти:
Різницю в сумі 645 тис. Руб. (7,985 - 7,340) слід сплатити на початку дії контракту або з відповідним нарощенням в будь-який інший момент (включити в наступний платіж). ·
Заміна потоку платежів рентою. Розглянемо загальний випадок конверсії. Замінимо, наприклад, нерегулярний потік грошей постійної річною рентою постнумерандо. Нехай потік складається з платежів Rt. виплачуваних через nt років після початку дії контракту. Параметри замінює негайної ренти постнумерандо: R. n. В основу заміни кладеться рівність сучасних вартостей замінного потоку і замінює ренти, тобто:
Дане рівність дає можливість визначити один з параметрів ренти: R або n.
Приклад 8.7. Три платежу 2 тис. Руб. 4 тис. Руб. і 3 тис. руб. з термінами 2, 3 і 4 роки відповідно замінюються рентою з щоквартальними виплатами на рік з терміном 5 років. Перерахунок здійснюється за процентною ставкою 18% річних. Визначити щоквартальну виплату.
Рішення. Рівняння еквівалентності можна записати на основі співвідношення (8.13) тільки в даному випадку стосовно ренті з неодноразовими виплатами в році:
Звідси знаходимо щоквартальну виплату: