Запам'ятовування через розуміння
Дивимося визначення синуса в підручнику геометрії. "Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи".
Чи дає це визначення розуміння синуса? Ні, не дає. Визначення не повне. Тому що воно розглядає тільки окремий випадок трикутника - прямокутний трикутник.
Дивимося визначення синуса в підручнику алгебри. "Ордината точки Р, отриманої при повороті точки Р (1; 0) навколо початку координат на кут а-радіан, називається синусом числа а, а абсциса цієї точки - косинусом".
Це визначення взагалі з області математичної абстракції, так як вводить негативні значення синуса і косинуса. І з розумінням синуса за цим визначенням ще більше складнощів.
Є простий тест на розуміння синуса і косинуса. Попросіть школяра намалювати лінію косинуса для довільного трикутника (не прямокутна). Якщо він цього зробити не може - він не розуміє, що таке синус і косинус.
Ілюстрація 1. Тест на розуміння. Де лінія косинуса?
(Передбачається описана окружність з одиничним діаметром)
Отже, шкільні підручники не дають інформації для розуміння понять "синус" і "косинус". Основне поняття тригонометрії (і елементарне поняття) "засекретили", сховали в окремих випадках і в математичних абстракціях.
При виникненні проблем з розумінням зараз можна звернутися до пошукових систем і знайти в них інформацію, якої бракує. Щоб візуалізувати синус і косинус, потрібно повернутися до витоків тригонометрії, зрозуміти, звідки ці поняття з'явилися, і для яких цілей.
Спочатку синус не пов'язаний з трикутником. Синус з'явився з кола і вписаного в коло кута.
У окружності з одиничним діаметром синус - це хорда, на яку спирається вписаний кут. А косинус - це перпендикулярна хорді-синусу хорда. На ілюстрації видно, що для будь-якого вписаного кута в колу є дві лінії синуса і дві лінії косинуса, які утворюють прямокутник.
Ось цю ілюстрацію і слід використовувати для запам'ятовування понять "синус" і "косинус". З цієї ілюстрації можна дати визначення синусу своїми словами.
Ілюстрація 2. У окружності з одиничним діаметром лінії синуса і косинуса (для вписаного кута)
утворюють прямокутник. На зображенні видно окремий випадок - прямокутний трикутник,
в якому лінія косинуса збігається з катетом.
Чи пов'язаний синус (довжина хорди) з протилежними кутом? Адже ми звикли говорити "синус кута". Зв'язок довжини хорди з кутом дуже непроста. Швидше, можна говорити про табличному відповідно довжини хорди і величини вписаного в коло кута.
Синус безпосередньо пов'язаний з іншим елементом в окружності - з її діаметром. Якщо ми розглянемо окружність з довільним діаметром і вписаний в цю окружність довільний трикутник (не прямокутна), то синус виходить шляхом ділення боку трикутника на діаметр цього кола. Тобто, синус - це коефіцієнт пропорційності боку вписаного в коло трикутника. Поняття "синус" безпосередньо пов'язано зі стороною трикутника. Але традиції є традціі - прийнято говорити "синус кута".
Як виходять синуси сторін трикутника видно на ілюстрації нижче. Ми можемо обчислити синуси всіх сторін (або синуси всіх кутів, як прийнято говорити), вимірявши точної лінійкою боку трикутника і діаметр описаного кола, і розділивши кожну сторону на діаметр. Величини кутів нам для цього не потрібні.
Ілюстрація 3. Наведемо навколо трикутника коло
і точно виміряємо боку трикутника і діаметр кола
В результаті ми отримаємо пропорційно зменшений трикутник, вписаний в коло з одиничним діаметром, сторони якого і будуть синусами сторін вихідного трикутника.
Ілюстрація 4. Сторони трикутника стали синусами,
коли ми зменшили коло до одиничного діаметра
Засвоївши поняття синуса, візуалізувати його у себе в уяві, зрозумівши, звідки воно з'явилося, можна переходити до окремих випадків синуса і косинуса, викладеним в підручниках. Легко помітити, що в прямокутному трикутнику одна зі сторін (гіпотенуза) одночасно є і діаметром описаного кола. Тепер стає більш зрозумілим визначення з підручника геометрії, за яким синус кута - це відношення катета до гіпотенузи (тобто до діаметру окружності). На ілюстрації 2 видно, що косинус збігається зі стороною трикутника тільки в прямокутному трикутнику. У будь-якому іншому трикутнику лінія косинуса знаходиться поза трикутником. У підручнику алгебри, де синус розглядаються як проекція точки окружності на вісь координат, переходять на половини кутів і полухорди, і з одиничного діаметра на одиничний радіус. Для чого? Щоб ввести негативні значення тригонометричних функцій.
На ілюстрації 3 і 4 видно теорема синусів. Теорема синусів є очевидною і не потребує доказу. Якщо синуси сторін (кутів) спочатку отримані нами шляхом ділення кожного боку трикутника на діаметр описаного кола, то ставлення будь-якої сторони трикутника до синуса сторони (синусу кута) буде однією і тією ж величиною, рівною діаметру окружності. Це і є теорема синусів.
a / sinA = b / sinB = c / sinC = d
(Sin A - коефіцієнт пропорційності боку "a")
А як же все таки кут пов'язаний зі своїм синусом?
Адже для вирішення завдань зручно знаходити синус кута по значенню самого кута. Зараз це не проблема. На будь-якому калькуляторі ви можете набрати sin (вставити кут) і отримати результат з заданою точністю.
Зміна значення синуса при рівномірному зміні величини кута візуально схоже на переміщення з рівноприскореному рухом (уявіть падаючий на землю кульку і його прискорення в кожну секунду). І дуже приблизні значення синуса (по куту) можна обчислити за формулою переміщення з рівноприскореному рухом. Але чіткої функціональної залежності значення синуса від величини кута немає. З заданою точністю синус обчислюється за формулою: