Перебіг в'язких рідин і газів в трубах.
Формула Пуазейля
При перебігу реальних рідин шари в цих рідинах рухаються з різними швидкостями. Поблизу стінки каналу (труби), в якому тече рідина, швидкість течії набагато менше, ніж удалині від неї. З шару газу з великою швидкістю руху переноситься імпульс (ко-личество руху) до шару, який рухається з меншою швидкістю. За рахунок передачі імпульсу від одного шару до іншого поперек руху швидкість руху шарів зменшується. В'язкість проявляється в тому, що будь-який шар газу або рідини, що рухається щодо сусіднього, відчуває дію деякої гальмує сили.
Як показує досвід, сила тертя між шарами газу дорівнює
рис.7.1
Вираз (7.1) - закон Ньютона для в'язкої течії рідини або газу.
Коефіцієнт динамічної в'язкості згідно (7.11) чисельно дорівнює силі тертя між шарами площею 1 м2прі величиною гра-діента швидкості (в напрямку, перпендикулярному до шарів), що дорівнює одиниці (1 м / сек на 1 м довжини). Розмірність в СІ [] = Па · с (паскаль-секунда).
У разі стаціонарного ламінарного течії рідини по трубці невеликого радіусу ^ R обсяг рідини, що протік за секунду через перетин трубки прямо пропорційний різниці тисків p1 і p2 біля входу в трубку і на виході з неї, четвертого ступеня радіуса R трубки і обернено пропорційний довжині l трубки і коефіцієнту в'язкості
де Vсек - секундний витрата рідини. Співвідношення (7.12) являє собою формулу Пуазейля.
ПрімерВивод формули Пуазейля за допомогою закону Ньютона для в'язкого тертя
Виділимо об'єм рідини або газу у вигляді циліндра довжиною l і радіусом r. При стаціонарному перебігу з постійною швидкістю сума всіх сил, що діють на виділений обсяг, дорівнює нулю. На даний обсяг діють сила в'язкого тертя Fтр ,. яка врівноважується силою Fд. виникає через перепад тиску на довжині трубки (рис. 7.2).
Сила Fтр, діє уздовж поверхні виділеного циліндра з площею S = 2lr і відповідно до закону Ньютона (7.11) дорівнює
Так як Fтр, по модулю дорівнює силі F д. то прирівнюючи два останніх вирази, отримаємо
Поділяючи змінні та інтегруючи це рівняння, отримаємо розподіл швидкості течії в радіальному напрямку:
Постійну С визначимо з умови рівності нулю швидкості на стінці труби:
З урахуванням останнього рівності:
Обсяг рідини dV. протік за секунду через кільцевий переріз шириною dr (рис. 5-4), з урахуванням (7.14) дорівнює:
Інтегрування останнього співвідношення в межах від 0 до R призводить до формули (7.12).
Квазіпружної сили. Умова виникнення
гармонійних коливань Диференціальне рівняння
лінійного гармонічного осцилятора і його рішення
Коливальним рухом називають такий рух, який характеризується повторюваністю в часі значень фізичних величин, що визначають цей рух або стан. Коливання проявляються в різних фізичних явищах. Нижче будемо розглядати коливання матеріальної точки.
Будь-яке коливання характеризується наступними параметрами:
1. Амплітудою коливань, т. Е. Величиною найбільшого відхилення від положення рівноваги;
^ 2. Періодом коливань, т. Е. Часом одного повного коливання; величина, зворотна періоду називається частотою коливань;
3. Фазою коливань, що характеризує стан коливань в будь-який момент часу;
4. Законом зміни величини, що коливається з временем.Колебаніе, яке підпорядковується закону синуса або косинуса, називається гармонійним
де х зміщення точки від положення рівноваги в момент часу t; А амплітуда коливань; циклічна частота; ^ Т період коливань; α0 початкова фаза, t + α0 фаза коливань в момент часу t.
Для виникнення механічних коливань необхідне виконання певних умов:
- наявність джерела енергії, що викликає зміщення тіла щодо положення рівноваги,
- наявність повертає сили, спрямованої проти руху, Fв.
- малі втрати енергії на тертя тіла, що коливається, т. е. дисипативні сили, які є непотенційного (неконсервативний), повинні бути досить малими.
Повертає сила, яка пропорційна відхиленню точки від положення рівноваги, називається квазіпружної:
Запишемо диференціальне рівняння хитається точки з урахуванням (7.6):
Позначимо, тоді отримаємо рівняння:
яке називається диференціальним рівнянням лінійного осцилятора. Рішенням рівняння (7.8) є функція (7.1), яке описує гармонійні коливання, яка представляє закон руху лінійного осцилятора.
ω0називается власною частотою коливань, яка залежить від пружною постійної k і маси хитається точки. Таким чином, гармонійні коливання виникають під дією квазіпружної повертає сили.
Рівняння (7.4) носить універсальний характер і називається диференціальним рівнянням гармонічних коливань уздовж осіx. Коефіцієнт при x в даному рівнянні дорівнює квадрату власної циклічної частоти.
ПрімерСкорость і прискорення при гармонійному коливальному русі.
Швидкість і прискорення коливається точки вздовж осі х визначаються співвідношеннями:
також змінюються за гармонійним законом, при цьому швидкість і прискорення випереджають зміщення (7.1) по фазі відповідно на / 2 і на .
Частоти власних коливань маятників
(Математичного, пружинного і фізичного)
При малих відхиленнях від положення рівноваги такі коливання мають місце в таких системах як пружинний маятник, математичний маятник і фізичний маятник.
Пружинний маятник являє собою невагому пружину, до кінця якої прикріплено тіло масою m. При зміщенні кульки на величину х від положення рівноваги на нього буде діяти пружна сила
Рівняння, що описує коливання пружинного маятника, нічим не відрізняється від диференціального рівняння (7.8) гармонічного осцилятора. Частота власних коливань пружинного маятника дорівнює:
Період коливань пружинного маятника дорівнює:
Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомою нерастяжимой нитки. При відхиленні маятника на кут φ з положення рівноваги (рис. 7.2) силу тяжіння маятника можна розкласти на дві складові і.
З
залишає прагне повернути маятник в положення рівноваги. На відхилену точку діє момент сили M = -F1l = -mgl sin φ. Відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху I = M маємо:
З огляду на, що для малих sin φ φ, і розділивши обидві частини останнього рівності на ml 2. отримаємо:
де - частота власних коливань математичного маятника. Тоді період коливань математичного маятника не залежить від маси тіла і дорівнює:
Якщо виміряти період коливань математичного маятника, то можна визначити і прискорення вільного падіння g.
Ф
изические маятником називається будь-яке тверде тіло, що коливається під дією сили тяжіння, яке не є математичним маятником, що має нерухому горизонтальну вісь обертання, що не проходить через його центр ваги.
У цьому випадку на тіло діє крутний момент сили, що дорівнює M = -mgl0 sin φ. Відповідно до основного рівняння обертального руху в проекції на горизонтальну вісь обертання х. що проходить через точку О і перпендикулярну площині малюнка маємо
З огляду на, що sin φ φ для малих φ, і розділивши обидві частини останнього рівності на Ix. отримаємо:
З рівняння (7.9) випливає, що частота власних коливань фізичного маятника дорівнює:
Період власних коливань фізичного маятника дорівнює:
Порівнюючи вирази для періоду коливання фізичного маятника (7.10) з виразом для періоду коливань математичного маятника (7.8) зручно ввести поняття приведеної довжини фізичного маятника. Ця величина дорівнює
Якщо відкласти від точки О уздовж лінії ОС відстань, рівну L0. то отримаємо точку О1. яка лежить нижче точки С і називається центром хитання маятника. Якщо перевернути маятник і закріпити його так, щоб центр гойдання О1 став точкою підвісу, то наведена довжина для «перевернутого» маятника дорівнює приведеній довжині L0 і період коливання T1 = T2. Такий «перевернутий» маятник називається оборотним маятником і використовується для визначення прискорення вільного падіння.
^ 7.3 Складання коливань однакового напрямку методом
векторних діаграм.
Суть цього методу векторної діаграми. полягає в наступному. З точки О на осі x відкладають вектор, модуль якого ^ A дорівнює амплітуді коливань, і спрямований до осі х під кутом, рівним початковій фазі коливань α0 (рис. 7.4). При обертанні цього вектора з циклічною частотою 0 його проекція на вісь х в будь-який момент часу буде дорівнює
Видно, що проекції обертового вектора на вісь за формою збігаються з рівнянням гармонійних коливань, якщо кутовий швидкості вектора зіставити кутову частоту коливань, а початкового кутку - початкову фазу. Тому, складання коливань можна представити як складання відповідних їм векторів.
Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку і однакової частоти.
Результуюче коливання представимо у вигляді:
Скористаємося векторною діаграмою (рис. 7.5). На підставі теореми косинусів маємо:
З малюнка видно, що
З виразу (7.17) випливає, що
якщо різниця фаз α2 - α1 дорівнює нулю, то амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі A1 і A2.
якщо різниця фаз α2 - α1 дорівнює або - (коливання відбуваються в протифазі), то амплітуда результуючого коливання дорівнює | A1 - A2 |.
Розглянемо додавання двох однаково спрямованих коливань, частоти яких мало відрізняються один від одного. ^ Результуюче рух за цих умов можна розглядати як гармонійні коливання з пульсуючою амплітудою. Таке коливання називається биттям. Нехай частота одного коливання дорівнює 1. другого 2 = 1 + , при цьому 1t. x2 = A cos2t.
Вираз (7.19) показує, що результуюче коливання також відбувається уздовж осі x. а амплітуда результуючого коливання змінюється з часом за законом (рис. 7.6).
Биття є коливання з усередненою частотою = (2 + 1) / 2, а при кожному зверненні амплітуди в нуль фаза биття стрибком змінюється на π.
^ Додавання взаємно перпендикулярних коливань
Розглянемо складання гармонійних коливань відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках, в яких бере участь матеріальна точка. Рівняння коливань,:
Щоб отримати рівняння траєкторії, виключимо з рівнянь (7.20) час t. Після математичних перетворень отримаємо рівняння:
Вираз (7.21) - рівняння еліпса, осі якого орієнтовані щодо координат х і у довільно.
Розглянемо деякі окремі випадки.
а) Різниця фаз α дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння (7.17) приймає вид
звідки слід рівняння прямої
Результуюче рух точки є гармонійним коливанням вздовж прямої (7.18) з частотою і амплітудою, що дорівнює (рис. 6-7).
б
) Різниця фаз α = . Рівняння (7.17) набуде вигляду, звідки результуюче рух являє собою гармонійне коливання уздовж прямої (рис. 6-8).
в
) При рівняння (7.16) переходить в
т. е. в рівняння еліпса, приведеного до координатним осях. У разі рівного розподілу амплітуд A1 і A2 еліпс вироджується в коло.
Якщо, то рух відбувається за годинниковою стрілкою; при рух відбувається проти годинникової стрілки.
Якщо частоти двох коливань, не однакові, але кратні один одному, то траєкторія має вигляд складних кривих (фігури Ліссажу).
Курс лекцій «Вимірювальне та повірочне обладнання серії« конг-прима ».
Тема Технічні вимоги до показників якості газу, їх взаємозв'язок і залежність від умов вимірювання
Закон тяжіння Ньютона називають всесвітнім, оскільки він представив.
Проте, космологія - це все ж справжня природничо-наукова дисципліна, в якій головне - конкретні факти, а будь-які теоретичні.
2. 1 Геолого-промислова характеристика нафтових і газових родовищ
Однак розвиток буріння свердловин дозволило переконатися в правильності висловленої ще в шістдесятих роках минулого століття ідеї Д.
Технічні характеристики «Арома Стример»
Принцип дії приладу - випаровування ароматичної рідини і рівномірний розподіл по приміщенню. У прилад ас встановлюється.
Закони Ньютона. Імпульс. закон
Мета. 1 навчальна повторити закони руху з подалі їх Використання у Нових темах
Закон руху рідини при гідравлічному ударі має вигляд
Лінійні операції над векторами, задані проекціями на осі координат, виробляють за формулами
Екзаменаційні питання з дисципліни «Теорія автомобілів і двигунів»
Дайте визначення термодинамічної процесу, оборотним і необоротним процесам, внутрішньої енергії газу. Сформулюйте перший закон.
здоров'я
В'язкість крові або недолік рідини в організмі причина порушення циркуляції крові