a m. a n = a (m-n) (при a не в рівному нулю);
(A / b) n = (a n) / (b n) (при b не в рівному нулю);
a 0 = 1 (при a не в рівному нулю);
Ці властивості будуть справедливі для будь-яких чисел a, b і будь-яких цілих чисел m і n. Варто відзначити також наступне властивість:
Якщо m> n, то a m> a n. при a> 1 і a m
Можна узагальнити поняття ступеня числа на випадки, коли в якості показника ступеня виступають раціональні числа. При цьому хотілося б, щоб виконувалися всі вище перераховані властивості або хоча б частину з них.
Наприклад, при виконанні властивості (a m) n = a (m * n) виконувалося б наступне рівність:
Це рівність означає, що число a (m / n) має бути коренем n-го ступеня з числа a m.
Ступенем деякого числа a (більшого нуля) з раціональним показником r = (m / n), де m - деяке ціле число, n - деяке натурально число більше одиниці, називається число n√ (a m). Виходячи з визначення: a (m / n) = n√ (a m).
Для всіх позитивних r буде визначено ступінь числа нуль. За визначенням 0 r = 0. Відзначимо також, що при будь-якому цілому, будь-яких натуральних m і n, і позитивному а вірно рівність: a (m / n) = a ((mk) / (nk)).
Наприклад: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).
З визначення ступеня з раціональним показником безпосередньо слід той факт, що для будь-якого позитивного а й будь-якого раціонального r число a r буде позитивним.
Тотожні перетворення виразів, що містять ступінь з раціональним показником.
Ступеня з дійсними показниками
Нехай дано позитивне число і довільне дійсне число. Число називається ступенем, число - підставою ступеня, число - показником ступеня.
За визначенням вважають:
Якщо і - позитивні числа, і - будь-які дійсні числа, то справедливі такі властивості:
Властивості ступеня з дійсним показником
Властивості ступеня з дійсним показником
На ступеня з дійсними показниками переносяться всі властивості ступенів з раціональними показниками.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) при будь-якому дійсному x,
8) нехай Якщо то якщо то
Поняття логарифма числа
B по підставі a називається показник ступеня, в яку треба звести підстава a. щоб вийшло число b.
Основна логарифмічна тотожність
Це основне логарифмічна тотожність.
Це тотожність випливає з визначення логарифма: так як логарифм - це показник ступеня (n), то, зводячи до цього степеня число а, отримаємо число b.
Основні властивості логарифмів
Основні властивості логарифмів
