Власні значення і власні вектори

Вирішивши останнє рівняння щодо

, знайдемо власні значення матриці. Рівняння (5.8) називаютхарактерістіческім рівнянням матриці. Знайшовши коріння характеристичного рівняння, послідовно підставляючи їх в систему (1) і вирішуючи одержувані системи, знайдемо власні вектори матриці, кожен з яких відповідає певному власному значенню.

Розглянемо кілька прикладів, в кожному з яких будемо виконувати послідовність дій рішення задачі про відшукання власних значень і власних векторів матриці.

Знайти власні значення і власні вектори матриці

. Дати геометричну інтерпретацію отриманого рішення.

Матриця має розмірність 2

2, тобто є поданням лінійного оператора в просторі. Власний вектор матриці будемо шукати у вигляді:.

Складемо рівняння для відшукання власних векторів в матричному вигляді:

3. Перепишемо матричне рівняння у вигляді системи рівнянь:

Однорідна система має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли визначник її головною матриці дорівнює 0. Отримуємо характеристичне рівняння системи і вирішуємо його:

.

Власні значення матриці

:,.

Знайдемо власні вектори для кожного власного значення:

;

;

;

нехай

, тоді власний напрямок матриці, відповідне своїм значенням, задається безліччю векторів:

;

;

;

нехай

, тоді власний напрямок матриці, відповідне своїм значенням, задається безліччю векторів:

Приклад 2. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора. заданого в деякому базисі матріцейА =

.

Складемо і вирішимо характеристичне рівняння

.

Тоді характеристичне рівняння приймає вид:

,

,

- власні значення лінійного оператора.

Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням

, вирішуючи матричне рівняння:

.

Вважаючи в останній рівності

, отримаємо.

Звідки власні вектори, відповідні власним значенням

, мають відх 1 =.

Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням

, вирішуючи матричне рівняння:

.

Вважаючи в останній рівності

, отримаємо.

Звідки власні вектори, відповідні власним значенням

, мають відх 2 =.

Відповідь. своїм значенням

відповідають власні вектори 1 =, а своїм значеннямвласні вектори

Приклад 3. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора. заданого в деякому базисі матріцейА =

.

Знайдемо власні значення лінійного оператора. Для цього складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

.

,

,

,

,

, ,

, - власні значення лінійного оператора.

Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням

. Виходячи зі співвідношеннях = 0 або в нашому випадку

Вирішуючи методом Гаусса, отримуємо

Оскільки ранг матриці системи (r = 2) менше кількості невідомих, то система має безліч рішень. Записуючи перетворену систему і вирішуючи її, отримаємо,

.

Таким чином, власні вектори, відповідні власним значенням

, мають вигляд: Х 1 =.

Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням

. Виходячи зі співвідношеннях = 0 або в нашому випадку

Вирішуючи методом Гаусса, отримуємо

звідки, система приймає вигляд

Таким чином, власні вектори, відповідні власним значенням

, мають вигляд: Х 2 =.

Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням

. Виходячи зі співвідношеннях = 0 або в нашому випадку

Вирішуючи методом Гаусса, отримуємо

,

звідки, система приймає вигляд

Таким чином, власні вектори, відповідні власним значенням

, мають вигляд: Х 3 =.

Схожі статті

• Значення імені агван - походження і тлумачення імені

• Значення імені Авигея - походження і тлумачення імені

• Значення імені Аракс - походження і тлумачення імені