1. Для нарахування відсотків застосовують постійну базу нарахування і послідовно змінюється (за базу приймається-ється сума, отримана на попередньому етапі нарощення або дисконтування). У першому випадку використовують прості, у другому - сложниепроцентние ставки, при застосуванні кото-яких відсотки нараховуються на відсотки.
2. Важливим є вибір принципу розрахунків процентних де-млостей. Існує два таких принципу: від справжнього до майбутнє-му і, навпаки, від майбутнього до теперішнього. Відповідно застосовують ставки нарощення і дисконтні, або облікові ставки. Якщо відсотки нараховуються на початкову суму (боргу) або на суму зі збільшеними за попередні періоди відсотками, то в цьому випадку говорять про ставку відсотків (або про ставку нарощення). Якщо ж відсотки нараховуються і віднімаються з суми позики (боргу, кредиту і т.п.) на початку терміну операції, то в цьому випадку мова йде про облікові ставках.В фінансової літера-турі відсотки, отримані за ставкою нарощення, прийнято на-викликають декурсівних, по обліковій ставці - антисипативному.
3. Процентні ставки можуть бути: фіксованими (у контрак-ті вказуються їх розміри), плаваючими (floating) .В пос-Ледней випадку вказується не сама ставка, а змінюється в часі база (базова ставка) і розмір надбавки до неї - маржі.
Ставка рефінансування Центрального БанкаУкаіни - ставка, по якій ЦБ видає кредит комерційним банкам.
4. У практичних розрахунках застосовують так звані дис-Конкретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за фіксований-ні інтервали часу (рік, півріччя і т.д.). Інакше кажучи, час розглядається як дискретна змінна.
Непреривниепроценти - відсотки, нараховані безперервно, тобто за нескінченно малі проміжки часу. Відсотки нараховуються на практиці або дискретно (наприклад, в кінці місяця за місяць, в кінці року за рік), або безперервно (наприклад, щодня).
Під нарощеної суммойссуди (депозиту, інвестованих коштів, платіжного зобов'язання і т.п.) розуміється її початкова сума з нарахованими на неї відсотками до кінця терміну наращенія.Велічіна нарощеної суми являє собою твір початкової суми позики на множник нарощення, який показує у скільки разів нарощена сума більше первоначальной.В залежності від застосовуваної процентної ставки і умов нарощення формула розрахунку множника нарощення записується по-різному.
Наприклад, для нарощення за простими відсоткам нарощена сума (S) буде розраховуватися так:
,
де Р - початкова сума позики, ден. од .; п-термін позики (а днях, місяцях, роках і т. п.); i - ставка нарощення (проста постійна), од.
Вираз (1 + ni) називається множником нарощення.
У фінансово-економічних розрахунках термін позики зазвичай вимірюється роками, тому значення ставки нарощення i є значення річної ставки відсотків. Відсотки, нараховані за весь термін позики, в цьому випадку складуть:
,
де I - процентна сума (величина доходу), ден. од.
Представлена вище формула називається формулою простих відсотків, а величину I можна визначити як процентний дохід, або процентні гроші (відсотки).
У практичній роботі банки, комерційні організації, фінансові інститути і т.п. використовують різні способи зміни числа днів позички (t) і тривалості року (часовий базидля розрахунку відсотків) в днях (К) .В залежності від того, як визначаються величини t і К точно, чи приблизно застосовуються такі варіанти ( «практики», « системи ») нарахування простих відсотків.
1. Точні відсотки з фактичним числом днів позики (так звана «англійська» практика) .Цей варіант дає найточніші результати і застосовується багатьма центральними і великими комерційними банками світу. В цьому випадку K = 365 дням, а в місцях 28, 29, 30 і 31 день.
2. Звичайні відсотки з точним числом днів позички (так звана «французька» практика або банківський метод) .Цей варіант дає дещо більший результат, ніж застосування точних процентов.Так, якщо число днів позики перевищує 360, то даний спосіб вимірювання часу призводить до того , що сума нарахованих відсотків буде більше, ніж передбачається річною ставкою. Наприклад, при t = 363 дням, n = 363: З60 = 1,0083, а множник нарощення за цей період буде дорівнює: 1 + 1,0083 * i.
3.Обикновенние відсотки з наближеним числом днейссуди ( «німецька» практика). Підрахунок числа днів в цьому варіанті базується на рік в 360 днів і місцях по 30 днів. Оскільки точне число днів позики в більшості випадків більше наближеного, то відсотки з точним числом днів зазвичай більше, ніж з наближеним, a отже, і нарощена сума за відсотками з точним числом днів зазвичай вище.
Нарощення суми в разі зміни простої процентної ставки протягом терміну ссуди.На практиці часто зустрічається ситуація, коли кредитні договори (угоди) передбачають зміну процентної ставки протягом терміну позики (наприклад, у зв'язку зі зміною ставки рефінансування; бажанням банку врахувати темп інфляції і т . д.). При цьому річна ставка відсотків, зазначена в кредитному договорі, носить назву номінальной.В цьому випадку нарощена сума буде обчислюватися наступним чином:
,
де it. - ставка простих відсотків в періоді t; t = l, 2. m; од .;
nt, - тривалість періоду; років;
т - число періодів, од.
Нарощення суми при реінвестірованіі.В метою підвищення зацікавленості вкладників і швидкого залучення додаткових грошових коштів, наприклад, в коротко- і середньострокові депозити, банки і фінансові компанії можуть пропонувати проводити своїм клієнтам неодноразове нарощення вкладеної суми в межах загального терміну позики, тобто реінвестувати її. Іншими словами, реінвестування передбачає приєднання нарахованих відсотків до вихідної (початкової) сумі і нарахування відсотків вже на зрослу суму, і так кілька разів за період.Прі такому реінвестування нарощена сума розраховується за формулою:
,
де n1, n2. nt - тривалість періодів нарощення, років;
причому (загальний термін угоди);
В окремому випадку, коли і. тобто коли періоди нарахування та ставки відсотків рівні формула приймає
,
де m - число операцій реінвестування, од.
За формулою отримуємо:
Приклад 1.2. Потенційний клієнт ряду надійних і розташованих в межах його пішохідної доступності банків міста має тимчасово вільні грошові кошти в розмірі 10 тис. Р. і хотів би помістити їх на депозитний рахунок строком на 1 рік. Перший банк (банк А) пропонує йому зробити внесок на умовах щоквартального нарахування за ставкою 20% річних і капіталізації (реінвестування) відсотків. Другий банк (банк Б) на наступних умовах: нарахування на вклад за ставкою 24% річних двічі на рік з капіталізацією відсотків. Банк В пропонує щомісячне нарахування відсотків за ставкою 20% річних і капіталізацією нарахованих відсотків. І, нарешті, банк Г пропонує зробити внесок на умовах нарахування 25% річних без капіталізації відсотків і нарахування їх в кінці терміну вкладу.
В якому з банків вкладник може отримати найбільшу суму після закінчення терміну договору?
За умовами прикладу Р = 10тис. р .; i1 = 20%; i2 = 24%; i3 = 20%; i4 = 25%. З огляду на, що нарахування відсотків відбувається щоквартально, по півріччях і щомісяця з капіталізацією, і тільки в банку Г - в кінці року (без реінвестування), за формулою і отримаємо (тис. Р.):
;
;
;
.
Нарощена сума при вкладах в кінці і на початку кожного року.
Досить часто за умовами договорів вкладу депозитних договорів банки передбачають можливість довкладення певної (часто - не вище початкової) грошової суми.
У разі якщо вклади робляться в кінці кожного року, то нарощена сума складе:
,
де m - число вкладів, од .; D - величина вкладу, ден. од.
Якщо вклади по своїй величині рівні, тобто D1 = D2 = D3 = Dm, Т про формулу можна записати так:,
або, враховуючи, що,
можна остаточно написати:.
Очевидно, що нарощення за ставкою простих відсотків в разі, коли довкладання робляться на початку року, суттєво вигідніше в порівнянні в Довкладення в кінці року.Це відбувається тому, що в першому випадку збільшується на один рік нарощення.
Розрахунок суми необхідного депозиту при щорічних виплатах. Досить часто (особливо при роботі з клієнтами - пенсіонерами, з вкладами на неповнолітніх і т.п.) працівники банку, які працюють з вкладами населення, стикаються із завданням визначення необхідної початкової суми вкладу (депозиту) клієнта, який зміг би забезпечити йому певні щорічні виплати протягом n років за заздалегідь обумовленою ставкою відсотків. У загальному випадку ця задача зводиться до вирішення завдання визначення «вічної» ренти, яка детально буде розглянута нижче. Зараз же розглянемо її рішення виходячи з тих знань, які ми вже маємо.
Використовуючи формулу. можна скласти таке рівняння:
,
де Р1, Р2, ..., Рn - певні щорічні виплати, ден, од .; п - час виплат, років.
За умови рівності щорічних виплат, тобто при P1 = P2 = Р3 = Рn формулу можна перетворити в вираз такого вигляду:
.
Для наближених, оціночних розрахунків величини початкового внеску можна використовувати зразкову рівність виразів:
.
Приклад 1.3. Розрахувати необхідну первинну величину депозиту клієнта для того, щоб він мав можливість щорічно протягом 5 років отримувати зі свого рахунку в банку суму в розмірі 6 тис. Руб. при нарахуванні простий відсоткової ставки, що дорівнює 30% річних.
За умовами прикладу Р = 6 тис. Руб .; in = 30%; n = 5 років. Використовуючи формулу. отримаємо (тис. р.):
.
Розрахунок за формулою дає наступний результат:
.
Розбіжність в порівнянні з результатом, отриманим по першій формулі, так само - 0,046 тис. Руб. або менше 0,3%. Як бачимо, розрахунок за другою формулою дає цілком прийнятний результат.
Розрахунок терміну позики і рівня процентної ставкі.Прі підготовці обґрунтування для отримання позики і розрахунку її ефективності виникає задача визначення терміну позики і рівня процентної ставки при наявних інших умовах. У цьому випадку термін позики може бути визначений як в роках, так і в днях:
Відповідно і розмір процентної ставки може бути визначений при обчислень терміну позики в роках як:,
а при обчисленні строку позики в днях так:.
Нарощення і рівномірна виплата відсотків в споживчому кредиті. У споживчий кредит, тобто кредиті, як правило, на особисті потреби для придбання товарів (або послуг) відсотки нараховуються на всю суму кредиту і приєднуються до основного боргу найчастіше вже в момент відкриття кредиту. Такий підхід називається разовим нарахуванням відсотків, апогашеніе боргу з відсотками в цьому випадку проводиться зазвичай рівними сумами протягом усього терміну кредиту. Нарощена сума боргу при такому підході розраховується за формулою. а величина разового погасительной платежу (R) так:
,
де т - число погасительной платежів по кредиту в році, од.
Зауважимо, що в зв'язку з тим, що відсотки нараховуються на початкову суму боргу, а фактична його величина постійно зменшується з часом, дійсна відсоткова ставка (по фактично використаному кредиту) виявляється помітно вище, ніж ставка за первинними договірними умовами.
Питання для самоперевірки:
1. Що є предметів фінансової математики?
2. Яку роль відіграє час в фінансових розрахунках?
3. Перелічіть види процентних ставок.
4. Що таке нарощена сума?
5. Що таке дисконтування?
6. Як визначається величина процентної ставки?
7. Як розраховується термін позики.