проблема. розібратися видах множення
Мета: ознайомлення з різними способами множення натуральних чисел, що не використовуються на уроках, і їх застосування при обчисленнях числових виразів.
завдання:
1. Знайти і розібрати різні способи множення.
2. Навчитися демонструвати деякі способи множення.
3. Розповісти про нові способи множення і навчити ними користуватися учнів.
4. Розвинути навички самостійної роботи: пошук інформації, відбір і оформлення знайденого матеріалу.
5. Експеримент «який спосіб швидше»
Гіпотеза: Чи треба знати таблицю множення?
Актуальність: Останнім часом учні довіряють гаджетам більше ніж собі. І з цього вважають тільки на калькуляторах. Ми хотіли показати що є різні способи множення, що б учням було легше вважати, і цікаво вчити.
ВСТУП
Ви не зможете виконати множення багатозначних чисел - хоча б навіть двозначних - якщо не пам'ятаєте напам'ять всіх результатів множення однозначних чисел, т. Е. Того, що називається таблицею множення.
В різний час різні народи володіли різними способами множення натуральних чисел.
Чому ж зараз всі народи застосовують один спосіб множення "стовпчиком"?
Чому люди відмовилися від старих способів множення на користь сучасного?
Чи мають забуті способи множення право на існування в наш час?
Що б відповісти на ці питання я виконав наступну роботу:
1. За допомогою мережі Інтернету знайшов інформацію про деякі способи множення, які використовувалися раніше .;
2. Вивчив літературу, запропоновану вчителем;
3. Вирішив пару прикладів усіма вивченими способами, що б дізнатися їх недоліки;
4) Виявив серед них найбільш ефективні;
5. Провів експеримент;
6. Зробив висновки.
1. Знайти і розібрати різні способи множення.
Множення на пальцях.
Давньоруський спосіб множення на пальцях є одним з найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці. Вони навчилися множити на пальцях однозначні числа від 6 до 9. При цьому досить було володіти початковими навичками пальцевого рахунку "одиницями", "парами", "трійками", "четвірками", "п'ятірками" і "десятками". Пальці рук тут служили допоміжним обчислювальним пристроєм.
Для цього на одній руці витягали стільки пальців, на скільки перший множник перевершує число 5, а на другий робили те ж саме для другого множника. Інші пальці загинали. Потім бралося число (сумарне) витягнутих пальців і множилося на 10, далі перемножується числа, які свідчили, скільки загнуто пальців на руках, а результати складалися.
Наприклад, помножимо 7 на 8. У розглянутому прикладі буде загнуто 2 і 3 пальці. Якщо скласти кількості загнутих пальців (2 + 3 = 5) і перемножити кількість не загнутих (2 • 3 = 6), то вийдуть відповідно числа десятків і одиниць шуканого твори 56. Так можна обчислювати твір будь-яких однозначних чисел, більше 5.
Способи множення чисел в різних країнах
Множення для числа 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється «на пальцях». Растопирьте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцях послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).
Хто придумав множення на пальцях
Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, що дорівнює кількості, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців зліва від загнутого пальця показує нам кількість десятків у відповіді, кількість пальців справа - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуті, праворуч - 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 = 54. Нижче на малюнку детально показаний весь принцип «обчислення».
Множення незвичайним способом
Ще приклад: потрібно обчислити 9 · 8 =. По ходу справи скажімо, що в якості «лічильної машинки» не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок в зошиті. Зачеркиваем 8-ю клітинку. Зліва залишилося 7 клітинок, праворуч - 2 клітинки. Значить 9 · 8 = 72. Все дуже просто.
7 клітин 2 клітини.
Індійський спосіб множення.
Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань був здійснений в Індії. Індуси запропонували вживається нами спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа цього способу полягає в ідеї, що одна і та ж цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, в разі відсутності будь - небудь розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.
Індуси відмінно вважали. Вони придумали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще не був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
6
Множення способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».
Множення чисел зараз вивчають в першому класі школи. А ось в Середні століття лише одиниці володіли мистецтвом множення. Рідкісний аристократ міг похвалитися знанням таблиці множення, навіть якщо він закінчив європейський університет.
За тисячоліття розвитку математики було придумано безліч способів множення чисел. Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносинам і пропорційності» (1494 г.) призводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок», а другий не менш романтичну назву «Ревнощі або загратоване множення».
Перевага способу множення «Маленький замок» в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.
Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібної кількості нулів. Потім результати складаються.
Способи множення чисел в різних країнах
Множення чисел методом «ревнощі».
«Методи множення Другий спосіб носить романтичну назву ревнощі», або «гратчасте множення».
Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множимо і множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «... виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. - Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити, що сидять біля вікон дам і черниць ».
Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.
У кожен рядок запишемо твір цифр, що стоять над цією клітиною і праворуч від неї, при цьому цифру десятків твори напишемо над косою рисою, а цифру одиниць - під нею. Тепер складаємо числа в кожній косою смузі, виконуючи цю операцію, справа наліво. Якщо сума виявиться менше 10, то її пишемо під нижньою цифрою смуги. Якщо ж вона виявиться більше, ніж 10, то пишемо тільки цифру одиниць суми, а цифру десятків додаємо до наступної сумі. В результаті отримуємо дані твір 10063.
Селянський спосіб множення.
Самим, на мій погляд, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який вживали російські селяни. Цей прийом взагалі не вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат.
У разі непарного числа треба відкинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до останнього числа правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором
Твір всіх пар відповідних чисел однакове, тому
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:
24 ∙ 17 = 24 ∙ (16 + 1) = 24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Новий спосіб множення.
Цікавий новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне - як цю інформацію розташувати. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.
Вважати за такою таблиці дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, відповідної п'ятірці, вибираємо числа, відповідні цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці і сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35
Ліву цифру (в нашому прикладі - нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль з двійкою, нуль з трійкою. Остання цифра також без змін.
В результаті отримуємо: 078235. Число 78235 і є результат множення.
Якщо ж при складанні двох чисел виходить число, що перевершує дев'ять, то його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.
Множення графічним методом (лінійним, китайським)
Перемножім два двозначних числа: 15 * 23
Крок 1. перше число 15:
Малюємо першу цифру - однією лінією.
Малюємо другу цифру - п'ятьма лініями.
Крок 2. друге число 23:
Малюємо першу цифру - двома лініями.
Малюємо другу цифру - трьома лініями.
Крок 3.
Крок 4. Результат - 345
За допомогою секундоміра встановимо скільки часу витрачається на рішення прикладу, кожним розглянутим способом.
Працюючи над цією темою, я дізнався, що існує близько 30 різних, забавних і цікавих способів множення. Деякими в різних країнах користуються досі. Я вибрав для себе деякі цікаві способи. Але не всі способи зручні у використанні, особливо при множенні багатозначних чисел.