VIII. Тригонометричні завдання з параметром
Приклад 1. При всіх значеннях вирішити рівняння.
Розділимо обидві частини рівняння на. отримаємо; . Рівняння має рішення, якщо, т. Е..
Відповідь: при,;
при.
Приклад 2. При всіх значеннях вирішити рівняння.
Перетворимо рівняння в квадратне відносно. Отримаємо:, причому. Вершина параболи. Якщо дискримінант, то квадратне рівняння має один корінь. Якщо, то квадратне рівняння має один корінь на проміжку за умови, що. В інших випадках рівняння коренів не має.
Приклад 3. Знайти всі значення, при яких вирішити система має рішення.
Перетворимо систему до виду Система має рішення при Відповідь:.
Приклад 4. Знайти всі значення, при яких рівняння
має рівно 2 кореня на відрізку.
Побудуємо графік рівняння в координатах.
Приклад 5. Знайти всі значення, при яких система
Вирішення рівняння: . Отже, система теж повинна мати рішенням відрізок.
Нерівність з системи має рішенням відрізок.
Нагадаємо, що графік, виходить стисненням графіка вздовж осі в раз при і розтягуванням в раз при.
Для того, щоб рішенням системи був відрізок, графік функції повинен мати вигляд показаний на малюнку.
Т. е. Перший нуль функції на нижній частині осі має дорівнювати 2 і.
Приклад 6. Знайти всі значення, при яких рівняння
має рівно 2 кореня.
Зауважимо спочатку, що ОДЗ:, і що рівняння при будь-якому має коріння; . Отже, рівняння не повинно мати коріння на інтервалі.
При рівняння вірно при будь-якому, тому не задовольняє умові завдання.
Розглянемо. Зобразимо можливий варіант графіка функції:
Для виконання умови задачі найближчий до початку координат нуль функції на негативній частині осі повинен задовольняти умові:.
Аналогічні міркування для дають результат.
Приклад 7. Знайти всі значення, при яких рівняння
має рівно 4 кореня.
Почнемо з ОДЗ рівняння:; . Так як числа, є корінням при будь-якому, то рівняння має мати рівно 2 кореня на інтервалі.
Схема розташування цих коренів на осі повинна бути наступною:
Складемо за цією схемою систему нерівностей
Віднімаючи нерівності протилежного змісту, отримаємо систему Отже,.
Рішенням системи при є інтервал. Вирішуючи систему для значень, отримуємо відповідь:.
Приклад 8. Знайти всі значення, при яких нерівність
Функцію перетворимо до виду і зробимо заміну. Отримаємо.
Завдання зводиться до наступного: знайти все, при яких мінімум функції на відрізку позитивний.
Розглянемо три випадки:
1. Абсциса вершини параболи лежить лівіше точки або в самій точці:. В цьому випадку ; ; , Враховуючи отримуємо:. Коротко розглянемо інші випадки:
Приклад 9. Знайти всі значення, при яких рівняння
рівносильні, т. е. мають співпадаючі безлічі рішень.
Вирішимо друге рівняння, зробивши заміну.
не підходить по ОПЗ.
Підставивши знайдені значення в перше рівняння, отримаємо,. Для доказу равносильности треба вирішити перше рівняння при знайдених значеннях. Равносильность буде в тому випадку, коли рішенням рівняння буде тільки безліч. Відповідь:.
Приклад 10. Знайти всі значення, при яких для кожного існує значення, що задовольняють рівняння
Почнемо з очевидного твердження: умова задачі буде виконано, якщо область значень правій частині рівняння належить відрізку. При всіх права частина являє собою функцію
Отже, що вірно в двох випадках:
1., при цьому права частина - функція з областю значень.
2., при цьому права частина - функція з областю значень. Відповідь:,.
Знайти всі значення, при яких
1. рівняння має рішення. Відповідь:.
2. рівняння має рішення. Відповідь:.
3. рівняння має рішення. Відповідь:.
4. рівняння має рішення. Відповідь:.
5. рівняння має єдине рішення на інтервалі. Відповідь:.
6. рівняння має рішення. Відповідь:.
Для кожного значення вирішити