Теорія ймовірностей і математична статистика

Попередня ↔ Наступна

Математичне сподівання біноміального розподілу простіше обчислити за формулою (4.4) М (Х) = пр = 3 # 8729; 0,3 = 0,9. дисперсія # 963; 2 = D (X) = = npq = 3 # 8729; 0,3 # 8729; 0,7 = 0,63. Побудуємо графік розподілу (рис. 4.1).

При m = l (див. Рис. 4.1) ймовірність досягає максимального значення. Ймовірно частотою настання події називається та частота, при якій ймовірність досягає свого максимального значення і позначається m 0. Для визначення найімовірнішого числа використовуємо формулу:

У цьому нерівності т 0 може бути тільки цілим числом. Якщо пр - ціле число, то m 0 = ін.

Приклад 4.5. Імовірність того, що виписаний продавцем чек буде оплачений, дорівнює 0,9. Яке найімовірніше число чеків буде оплачено, якщо виписано 40 чеків?

Рішення. Знаходимо твір пр = 40 # 8729; 0,9 = 36 (ціле число), значить, т 0 = 36. Знайдемо т 0 за формулою (4.9) 40 # 8729; 0,9-0,1 ≤ т 0 ≤ 40 # 8729; 0,9 + + 0,9; 35,9 ≤ m 0 ≥ 36.9. Цьому подвійному нерівності задовольняє ціле число т 0 = 36.

4.5. розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона (закон розподілу рідкісних подій) часто використовується тоді, коли ми маємо справу з числом подій, що з'являються в проміжку часу або простору (число машин, які прибули на автомийку протягом години, число дефектів на новому відрізку шосе довжиною в 10 км, число місць витоку води на 100 км водопроводу. число зупинок верстатів в тиждень, число дорожніх подію).

Якщо ймовірність появи події А в п окремих незалежних випробуваннях дуже мала (р

де # 955; = Ін; п - число незалежних випробувань з постійною малою вірогідністю р; е - основа натурального логарифма (е = 2,71828); т - число появ події (т = 0, 1, 2, 3.).

За допомогою формули (4.10) можна записати закон розподілу Пуассона. Його можна написати у вигляді ряду розподілу (табл. 4.6), якщо, надаючи m цілі невід'ємні значення т = 0, 1, 2. n, обчислити відповідні їм ймовірності Рn, т.

Закон розподілу Пуассона

Закон розподілу Пуассона можна записати у вигляді функції розподілу: # 955; ke- # 955; / k!

де знак означає суму ймовірностей Рп, т для всіх т, менших п.

Застосовуючи формулу (4.11), можна визначити ймовірність появи події хоча б один раз в п незалежних випробуваннях. Оскільки ймовірності Рп, т ≥ 1 і Рп, 0 є ймовірності протилежних подій, то

За формулою (4.12) обчислюються ймовірності появи події хоча б один раз в п незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події в окремих випробуваннях постійна і дуже мала, а число випробувань досить велике (n ≥ 20), т. Е. За умови застосування формули Пуассона (4.10).

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, збігаються і дорівнюють параметру # 955 ;, який визначає цей закон, т. е.

Формула (4.13) встановлює важливий теоретико-імовірнісний сенс параметра # 955 ;. Послідовність подій, які настають в випадкові моменти часу, називається потоком подій (наприклад, виклик на АТС).

При цьому повинні виконуватися наступні умови.

Імовірність появи події одна і та ж для будь-яких двох інтервалів рівної довжини.

Імовірність того, що подія з'явиться в короткий інтервал часу (або простору), пропорційна величині інтервалу.

У дуже короткому інтервалі ймовірність того, що дві події з'являться, близька до нуля.

Імовірність того, що будь-яке число подій з'явиться в інтервалі, не залежить від початку інтервалу.

Поява або не появу події в певному інтервалі не залежить від появи або непоявленія події в будь-якому іншому інтервалі.

Приклад 4.6. Припустимо, нас цікавить число інкасаторів, які прибувають вранці на автомобілі в банк протягом 15 хв. Якщо ми припустимо, що ймовірність прибуття автомобіля однакова в будь-два періоду часу рівної довжини і що прибуття або неприбуття автомобіля в будь-який період часу не залежить від прибуття або неприбуття в будь-який інший період часу, то послідовність прибуття інкасаторів в банк може бути описана розподілом Пуассона.

Аналіз попередніх даних показав, що середнє число інкасаторів, які прибувають в 15-хвилинний період, дорівнює 10, тоді при # 955; = 10 отримуємо: Р (т) = # 955; me - # 955; / m! = 10me -10 / m. при т = 0, 1, 2. ...

Якщо ми хочемо дізнатися ймовірність прибуття п'яти інкасаторів протягом 15 хв, то при m = 5 отримаємо: Р (5) = 105E -10/5! = 0,0378.

Ймовірності розподілу Пуассона легше розрахувати, користуючись спеціальними таблицями ймовірностей розподілу Пуассона. У них містяться значення ймовірностей при заданих т і # 955 ;.

Приклад 4.7. Припустимо, нас цікавить число дефектів, що з'явилися на певній ділянці шосе через місяць після його асфальтування. Ми припускаємо, що ймовірність появи дефектів одна і та ж на будь-яких двох ділянках рівної довжини і що поява або не появу дефектів на будь-якому проміжку шосе не залежить від появи дефектів на будь-якому іншому ділянці. Отже, для вирішення завдання можна використовувати розподіл Пуассона.

Припустимо, ми з'ясували, що кількість дефектів через місяць після асфальтування в середньому дорівнює двом на кілометр. Знайдемо ймовірність того, що на певній ділянці шосе довжиною в 3 км ми не знайдемо жодного дефекту через місяць після асфальтування. Оскільки нас цікавить інтервал довжиною в 3 км, то # 955; = = (2 деф / км) · (3 км) = 6.

Це - очікуване число дефектів на трикілометровому ділянці шосе. Звідси, використовуючи формулу (4.10) або таблиці розподілу Пуассона з # 955; = 6 і т = 0, отримуємо, що ймовірність відсутності
дефектів на три кілометри дороги дорівнює 0,0025. Результат говорить про те, що відсутність дефектів на досліджуваному ділянці дороги дуже малоймовірно. Імовірність того, що хоча б один дефект з'явиться на трьох кілометрах знову асфальтованої дороги, дорівнює 1-0,0025 = 0,9975.

Розглянемо приклад. в якому ймовірності будуть обчислені точно за формулою Бернуллі (4.1) і наближено за формулою Пуассона (4.10).

Приклад 4.8. Проведено 25 незалежних випробувань з ймовірністю появи події А в кожному з них 0,01. Побудуємо ряд розподілу для випадкової величини Х = т - числа появ події А. Імовірність Рn, m обчислюємо двома способами: за формулою Бернуллі і за формулою Пуассона. Отримані результати можна порівняти і оцінимо похибки наближеною формули. За умовою п = 25; р = 0,01; q = 0,99. Обчислимо Рn, m і зведемо їх в табл. 4. 7.

Порівняння ймовірностей, отриманих за формулами

Бернуллі і Пуассона

Зіставлення ймовірностей показує, що розраховані за формулою Пуассона ймовірності майже збігаються з їх значеннями, обчисленими за формулою Бернуллі. Максимальна похибка результатів, обчислених за формулою Пуассона, дорівнює 0,002.

4.6. гіпергеометричний розподіл

Вище ми розглянули способи обчислення ймовірностей появи події рівно т раз в п незалежних повторних випробуваннях (за формулами Бернуллі і Пуассона). Тепер познайомимося з обчисленням ймовірності появи події рівно т раз в п залежних повторних випробуваннях. Випадкова величина, яка визначає число успіхів в п повторних залежних випробуваннях, підпорядковується гіпергеометрична закону розподілу.

Приклад 4.9. В урні N куль, серед яких До білих і (N-K) чорних. Без повернення витягнуті п куль. Визначимо ймовірність того, що у вибірці з п куль виявиться т білих (і відповідно n-m чорних) куль. Зобразимо ситуацію на схемі:

Випадкова величина, яка цікавить нас, X = т - число білих куль в вибіркою обсягом в п куль. Число всіх можливих випадків відбору п куль з N дорівнює числу сполучень з N по n (CNn), а число випадків відбору т білих куль з наявних До білих куль (і значить, п-m чорних куль з N-K наявних чорних) дорівнює добутку CKmCN-Kn-m (відбір кожного з т білих куль може поєднуватися з відбором будь-якого з n-т чорних). Подія, ймовірність якого ми хочемо визначити, полягає в тому, що у вибірці з п куль виявиться рівно т білих куль. За формулою для ймовірності події в класичній моделі ймовірність отримання в вибірці т білих куль (т. Е. Ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення т) дорівнює

де CNn - обшее число всіх єдино можливих, рівно можливих і несумісних результатів, CKmCN-Kn-m - число випадків, що сприяють цікавого для нас події.

Отже, ймовірність появи цікавить нас рівно т раз в п залежних випробуваннях обчислюється за формулою (4.14), яка задає значення гипергеометрического закону розподілу для т = 0, 1, 2. п (табл. 4.8).

Гіпергеометричний закон розподілу

Приклад 4.10. Розігрується тираж виграшної грошової позики, в якому випущено N облігацій, з яких К - виграшні. Хтось придбав п облігацій. Знайдемо ймовірність того, що т з них - виграшні.

Розмірковуючи відповідно до викладеної схемою, за формулою (4.14) отримаємо цікаву покупця облігацій ймовірність виграшу.

Приклад 4.11. Автомобілі надходять в торговий салон з заводу партіями по 10 штук. За угодою сторін для економії часу і ресурсів в торговому салоні піддаються контролю якості і безпеки тільки 5 з 10 вступників автомобілів. Зазвичай 2 з 10 надійшли машин не задовольняють стандартам якості. Визначимо, чому дорівнює ймовірність того, що хоча б одна з 5 перевірених машин буде забракована.

Рішення. Тут має місце вибірка без повернення, отже, випадкова величина - число бракованих автомобілів - підпорядковується Гіпергеометричний розподіл: N = 10, К = 2,
N К = 8 і n = 5, т = 1, 2.

Приклад 4.13. З 20 лотерейних квитків виграшними є 4. Навмання витягуються 4 квитки. потрібно:

1) побудувати закон розподілу числа виграшних квитків серед відібраних;

2) побудувати біноміальний розподіл виграшних квитків, для р = 0,2, п = 4;

3) зіставити результати вирішення прикладів 4.12 і 4.13.

1. За умовою завдання N = 20, К = 4, n = 4. За формулою (4.14) обчислюємо ймовірності Р 4, т (т = 0, 1, 2, 3, 4) і будуємо гипергеометрическое розподіл (табл. 4.11) :

гіпергеометричний розподіл

2. За умовою завдання п = 4; за постійне значення ймовірності p приймаємо частку виграшних квитків: р = 4/20 = 0,2; q = 16/20 = 0,8. За формулою Бернуллі обчислюємо ймовірності для всіх можливих значень т (0, 1, 2, 3, 4) і будуємо біноміальний закон розподілу (табл. 4.12)