Примітка. В цьому розділі формулювання і доведення теореми синусів. В уроках глави наведені завдання з геометрії з рішеннями на цю ж тему. Див. Також Теорема косинусів.
теорема синусів
Теорема синусів встановлює залежність між величиною кутів трикутника і протилежних йому сторін.
Формулювання теореми синусів:
Сторони трикутника пропорційні синусів протилежних кутів
де
R - радіус описаної навколо трикутника кола
a, b, c - сторони трикутника
α, β, γ - величини протилежних цим сторонам кутів
Доказ теореми синусів
Побудуємо довільний трикутник, вписаний в коло. Позначимо його як ABC.
Для доказу всієї теореми, оскільки розміри трикутника обрані довільним чином, досить довести, що співвідношення однієї довільної боку до протилежного їй кута одно 2R. Нехай це буде 2R = a / sin α, тобто якщо взяти за кресленням 2R = BC / sin A.
Проведемо діаметр BD для описаного кола. Утворився трикутник BCD є прямокутним, оскільки його гіпотенуза лежить на діаметрі описаного кола (властивість кутів, вписаних в коло).
Оскільки, кути, вписані в коло, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні, то кут CDB або дорівнює куту CAB (якщо точки A і D лежать по одну сторону від прямої BC), або дорівнює π - CAB (в іншому випадку) .
Звернемося до властивостей тригонометричних функцій. Оскільки sin (π - α) = sin α, то зазначені варіанти побудови трикутника все одно призведуть до одного результату.
Обчислимо значення 2R = a / sin α, за кресленням 2R = BC / sin A. Для цього замінимо sin A на співвідношення відповідних сторін прямокутного трикутника.
2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB
А, оскільки, DB будувався як діаметр кола, то рівність виконується.
Повторивши той же міркування для двох інших сторін трикутника, отримуємо:
Теорема синусів доведена.