Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
Імовірність появи хоча б одного з двох спільних подій (тобто ймовірність їх суми) дорівнює сумі ймовірностей кожного окремо без ймовірності їх спільного появи:
Теорема про ймовірність повної групи подій
Сума ймовірностей подій. утворюють повну групу, дорівнює одиниці:
Таким чином сума подій А1. А2 ... Аn є подія достовірне.
Протилежними називають два єдино можливих події. утворюють повну групу.
Наприклад, влучення і промах при одному пострілі - протилежні події.
Теорема про можливості протилежних подій
Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:
Дві події називають незалежними. якщо ймовірність одного з них не залежить від появи або непоявленія іншого.
В іншому випадку події називають залежними.
Теорема множення ймовірностей незалежних подій
Можливість спільного появи двох незалежних подій (тобто ймовірність твори цих подій) дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
Теорема про ймовірність появи хоча б однієї події
Імовірність появи хоча б однієї з подій. незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і творами ймовірностей протилежних подій:
де А - поява хоча б 1 з подій,
Умовною ймовірністю називають ймовірність події В, обчислену в припущенні, що подія А вже відбулася.
Теорема множення ймовірностей залежних подій
Можливість спільного появи двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступило:
Формула повної ймовірності, формула Байеса
Нехай подія А може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій які утворюють повну групу. Ці події називають ще гіпотезами. Відомі ймовірності гіпотез і відповідні умовні ймовірності події А.
Імовірність події А, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій утворюють повну
групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:
Ця формула називається формулою повної ймовірності.
Якщо подія А вже відбулася, для знаходження так званої переоцінений ймовірності гіпотез застосовується формула Байеса:
Повторні незалежні випробування, формула Бернуллі
Якщо проводиться кілька випробувань, причому ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними щодо події А.
Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з'явитися або не з'явитися. Будемо вважати, що ймовірність настання події А в кожному випробуванні постійна і дорівнює p. Отже, ймовірність ненастання події А в кожному випробуванні дорівнює q = 1-p.
Імовірність того, що при незалежних випробуваннях цікавить нас настане рівно раз визначається за формулою Бернуллі
Тут - число сполучень із елементів по. визначається за формулою
Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях досить важко, так як слід дотримуватися дій над величезними числами. Наведена нижче теорема дає асимптотичну формулу, яка дозволяє приблизно знайти ймовірність появи події рівно раз при випробуваннях, якщо число випробувань досить велике.
Локальна теорема Лапласа
Якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія А з'явиться в випробуваннях рівно раз приблизно визначається за формулою
Ця формула називається ще формулою Муавра-Лапласа.
Значення функції знаходять по таблиці (див. Додаток 1) для позитивних значень аргументу. Для від'ємних значень користуються тією ж таблицею, так як функція парна, тобто .
Для обчислення ймовірності того, що цікавить нас А з'явиться в випробуваннях не менше і не більше разів застосовується