Позначимо через k твір декількох (більше одного) перших простих чисел. Доведіть, що число
а) k - 1; б) k + 1 не є точним квадратом.
5. Нехай a і n - натуральні числа, великі 1. Доведіть, що якщо число a n - 1 просте, то a = 2 і n - просте.
(Числа виду q = 2 n - 1 називаються числами Мерсенна.)
Сума двох натуральних чисел дорівнює 201. Доведіть, що твір цих чисел не може ділитися на 201
7. Цілі числа x, y і z такі, що (x - y) (y - z) (z - x) = x + y + z. Доведіть, що число x + y + z ділиться на 27.
8. Доведіть, що серед будь-яких десяти послідовних натуральних чисел знайдеться число, взаємно просте з іншими.
9. Натуральне число n назвемо суперсоставним, якщо кожен його простий дільник менше. Доведіть, що існує нескінченно багато трійок послідовних суперсоставних чисел.
10. Найменший непарний дільник натурального числа n, відмінний від 1, дорівнює d, а найбільший непарний дільник n дорівнює числу D> d. Виявилося, що n = 3D + 5d. Знайдіть всі такі n.
11. Знайдіть всі пари простих чисел p і q (p> q) такі, що (p + q) 3 не ділиться на 3, але ділиться на (p-q) 2.
12 *. У натурального числа n виписали чотири різних подільника, менших n, що закінчуються на одну і ту ж ненулевую цифру. Доведіть, що їх сума менше, ніж 6n / 7.
1. а) p, p + 10, p + 14 - прості числа. Знайдіть p. б) p, 2p + 1, 4p + 1 - прості числа. Знайдіть p
2 .p і p 2 + 2 - прості числа. Доведіть, що p 3 + 2 - також просте число.
3 .Решіть в цілих числах рівняння xy + 3x - 5y = 32
Позначимо через k твір декількох (більше одного) перших простих чисел. Доведіть, що число
а) k - 1; б) k + 1 не є точним квадратом.
5. Нехай a і n - натуральні числа, великі 1. Доведіть, що якщо число a n - 1 просте, то a = 2 і n - просте.
(Числа виду q = 2 n - 1 називаються числами Мерсенна.)
Сума двох натуральних чисел дорівнює 201. Доведіть, що твір цих чисел не може ділитися на 201
7. Цілі числа x, y і z такі, що (x - y) (y - z) (z - x) = x + y + z. Доведіть, що число x + y + z ділиться на 27.
8. Доведіть, що серед будь-яких десяти послідовних натуральних чисел знайдеться число, взаємно просте з іншими.
9. Натуральне число n назвемо суперсоставним, якщо кожен його простий дільник менше. Доведіть, що існує нескінченно багато трійок послідовних суперсоставних чисел.
10. Найменший непарний дільник натурального числа n, відмінний від 1, дорівнює d, а найбільший непарний дільник n дорівнює числу D> d. Виявилося, що n = 3D + 5d. Знайдіть всі такі n.
11. Знайдіть всі пари простих чисел p і q (p> q) такі, що (p + q) 3 не ділиться на 3, але ділиться на (p-q) 2.
12 *. У натурального числа n виписали чотири різних подільника, менших n, що закінчуються на одну і ту ж ненулевую цифру. Доведіть, що їх сума менше, ніж 6n / 7.
1. а) p, p + 10, p + 14 - прості числа. Знайдіть p. б) p, 2p + 1, 4p + 1 - прості числа. Знайдіть p
2 .p і p 2 + 2 - прості числа. Доведіть, що p 3 + 2 - також просте число.
3 .Решіть в цілих числах рівняння xy + 3x - 5y = 32