Слідами питання про площі і периметри :)
Питання до слова: а як, власне, доводиться, що окружність має максимальну площу для заданого периметра? (На всякий випадок скажу, що написати формулу площі кола через периметр, а потім, скажімо, квадрата - не доказ)
UPD: відповідь на це питання дав ще в попередньому пості шановний pequeno_raposa. а в цьому дав посилання на докладний доказ.
Спроба переформулювати питання borsug. відомо, що плоска фігура з заданим периметром може мати площу від 0 до якоїсь максимальної. Або, що те ж саме, фігура із заданою площею може мати периметр від деякого мінімального до нескінченного.
Чому це так З яких властивостей простору це слід?
Який зв'язок між двовимірної фігурою і її одновимірної кордоном?
Не можу коректно сформулювати питання, але тим не менше :).
(На всякий випадок скажу, що написати формулу площі кола через периметр, а потім, скажімо, квадрата - не доказ) - для порівняння з квадратом - дуже навіть доказ.
Пишеш формулу окружності через периметр.
Пишеш формулу будь-якої фігури через периметр.
Прирівнюється їх.
З'ясовуєш що при будь-якому периметрі одна частина рівності (та яка описує коло - буде більше ніж інша)
Якщо на пальцях приблизно:
1. будується формула площі багатокутника даного периметра
2. доводиться, що площа правильного багатокутника даного периметра вище ніж у будь-якого іншого багатокутника даного периметра і з даними числом сторін
3. показується, що площа правильного багатокутника даного периметра тим вище чим більше у нього сторін
4. робиться граничний перехід і при нескінченному числі сторін отримуємо коло
Ось, приблизно так.
А раптом максимальна площа у неправильних багатокутників?
відповідь приходить з фізики. І трохи навпаки. Згадаймо фоздушние кульки. Чому вони не кубики? А по тому, що сила поверхневого натягу прагне зменшити площу плівки і відразу зробить з повітряного кубика, буде він виникне, повітряна кулька. а кулька в перерізі (до речі в будь-якому) - окружність. поверхню - периметр.
Якщо фігура не опукла, тобто деякі дві точки її межі можна з'єднати відрізком, який не проходить через її "Внетренняя", то ми можемо побудувати фігуру з тим же периметром і більшою площею, відбивши частина периметра від відрізка.
Якщо фігура опукла, але існує пряма, яка перетинає її периметр під різними кутами, то ми можемо перевернути одну частину фігури, відсічену цієї прямої і отримати фігуру тієї ж площі і того ж периметра, але не опуклу.
Єдина фігура, площа якої ми таким чином не можемо збільшити - коло.