Складне судження - це таке, яке утворюється з простих суджень за допомогою логічних зв'язок (операцій): кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквіваленціі і заперечення. Так, складне судження «На ступила осінь, дні стали коротшими, і перелітні птахи відправилися в теплі краї» складається з трьох простих суджень, які можна позначити будь-якими буквами, наприклад а, в, с (кожна з них символічно представляє просте судження в складі складного як нерозчленованим ціле). Воно виражається формулою:. Знак «» відповідає союзу «і». У математичній логіці «» позначає кон'юнкцію, а складне судження називається кон'юнктивний.
Диз'юнктивними складними судженнями є: «Я вирушаю подорожувати на південь поїздом або полечу літаком». Формула його. де «» позначає строгу диз'юнкцію. Сувора тому, що ми не можемо одночасно летіти на літаку і їхати на поїзді, а значить або ту чи іншу. Завжди одне з двох. А ось варіативність вибору дає нестрогая диз'юнкція. Приклад: «Цей студент є шахістом чи велосипедистом» виражається формулою а в. Він може бути тільки шахістом, не бути велосипедистом і навпаки, а може бути і тим і іншим одночасно, висловлювання незмінно. Умовне судження: «Якщо коровам поліпшити корм, то збільшаться надої молока» виражається формулою а → в Кон'юнкція (а в) істинна тоді, коли обидва (або все) прості судження істинні. Сувора диз'юнкція (а в) істинна тоді, коли тільки одне просте судження істинно. Нестрогая диз'юнкція (а в) істинна тоді, коли хоча б одне просте судження істинно. Імплікація (а → в) істинна у всіх випадках, крім одного: коли а - істинно і в- помилково. Еквіваленція (а в) істинна тоді, коли обидва судження істинні або обидва хибні. Заперечення (а) істини дає брехня, і навпаки. Якщо в формулу входять три змінні (n = 3), то таблиця істинності для цієї формули (що включає всі можливі комбінації істинність або хибність її змінних) буде складатися з 2 3 = 8 рядків; при п = 4 буде 2 4 = 16 рядків і т. д. при п змінних - 2 n рядків.
Тотожно-істинною формулою називається формула, яка за будь-яких комбінаціях значень для входять до неї змінних приймає значення «істина». Тотожно-помилкова формула та, яка відповідно приймає тільки значення «брехня». Здійсненне формула може приймати як значення «істина», так і значення «брехня». Наведемо доказ тотожною істинності формули:. Алгоритм розподілу значень І і Л для змінних (зокрема, трьох: а, в, с) може бути, напр. таким: в стовпці для а спочатку пишемо 4 рази «істина» «(І)» і 4 рази «брехня» «(Л)»; в стовпці для в спочатку пишемо 2 рази «І» і 2 рази «Л», потім повторюємо і т. д.
І І І І Л Л Л Л
І І Л Л І І Л Л
І Л І Л І Л І Л
Л Л Л Л І І І І
Л Л І І Л Л І І
Л І Л І Л І Л І
І І І І І І Л Л
І І І І І Л І Л
Л І І І Л І І І
Л І І І Л Л Л Л
І І І І І І І І
Вправа 7. Запишіть в символічному вигляді, використовуючи логічні союзи, такі висловлювання: наприклад: Людина за своєю природою добрий (а) і порядний (в) .а в.
- Прокинувшись вранці, я можу відправитися в університет або залишитися вдома, і навіть якщо я вирішу піти в університет, то я можу не дійти до нього, так само як і, залишившись вдома піти куди-небудь протягом дня, і, в крайньому випадку, я можу зовсім не прокидатися. - Якщо я закоханий, то я можу перевернути все і зробити неможливе.
Вправа 8. Яка логічна зв'язка виражена в наступних складних судженнях?
1) Вранці в санчата Саша сідала, летіла стрілою, повна щастя з гори крижаної (Н. Некрасов) 2) Якщо ти дурний, то завжди це показуєш і намагаєшся ще більше зосередити на собі увагу. 3) Приховування або пособництво злочинцям рівносильно злочину і переслідується по закону. 4) Як визначити доброту людини? Добрий якщо ввічливий, або якщо зробив щось хороше тобі, або якщо всі його вважають добрим.
Вправа 9. Складіть таблицю істинності чи хибності значення складного висловлювання, підберіть мовної приклад складного висловлювання відповідають даним записаним в символічному вигляді
Вправа 10. Наведіть приклади суджень відповідних кон'юнктівной і диз'юнктивній нормальній формі.