Параллелограммом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм.
Нехай ABCD - даний паралелограм, O - точка перетину діагоналей даного паралелограма.
Δ AOD = Δ COB за першою ознакою рівності трикутників (OD = OB, AO = OC за умовою теореми, ∠ AOD = ∠ COB, як вертикальні кути). Отже, ∠ OBC = ∠ ODA. А вони є внутрішніми навхрест лежать для прямих AD і BC і січною BD. За ознакою паралельності прямих прямі AD і BC паралельні. Так само доводимо, що AB і DC теж паралельні. За визначенням даний чотирикутник паралелограм. Теорема доведена.
Якщо у чотирикутника пара протилежних сторін паралельні і рівні, то чотирикутник - паралелограм.
Нехай ABCD - даний чотирикутник. AD паралельно BC і AD = BC.
Тоді Δ ADB = Δ CBD за першою ознакою рівності трикутників (∠ ADB = ∠ CBD, як внутрішні навхрест лежачі між прямими AD і BC і січною DB, AD = BC за умовою, DB - загальна).
Отже, ∠ ABD = ∠ CDB, а ці кути є внутрішніми навхрест лежать для прямих AB і CD і січною DB. По теоремі ознаці паралельності прямих AB і CD паралельні. Значить, ABCD - паралелограм. Теорема доведена.
Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, такий чотирикутник - паралелограм.
Нехай дано чотирикутник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD і ∠ ABC = ∠ CDA.
Проведемо діагональ DB. Сума кутів чотирьох кутника дорівнює сумі кутів трикутників ABD і BCD. Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180 º,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA. = 360 º. Так як протилежні кути в чотирикутнику рівні, то ∠ DAB + # 8736 ABC = 180 º і ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º.
Кути BCD і CDA є внутрішніми односторонніми для прямих AD і ВС і січною DC, їх сума дорівнює 180 º, тому з слідства до теоремі про ознаку паралельності прямих, прямі AD і ВС паралельні. Так само доводиться, що AB || DC. Таким чином, чотирикутник ABCD - паралелограм за визначенням. Теорема доведена.