сферичної геометрії
Сферичний трикутник.
Серед всіх сферичних багатокутників найбільший інтерес представляє сферичний трикутник. Три великих кола, перетинаючись попарно в двох точках, утворюють на сфері вісім сферичних трикутників. Знаючи елементи (сторони та кути) одного з них, можна визначити елементи всіх інших, тому розглядають співвідношення між елементами одного з них, того, у якого всі сторони менше половини великому колу. Сторони трикутника вимірюються плоскими кутами тригранного кута ОАВС. кути трикутника - двогранними кутами того ж тригранного кута (рис. 7).
Багато властивостей сферичного трикутника (а вони одночасно є і властивостями тригранних кутів) майже повністю повторюють властивості звичайного трикутника. Серед них - нерівність трикутника, яке на мові тригранних кутів говорить, що будь-який плоский кут тригранного кута менше суми двох інших. Або, наприклад, три ознаки рівності трикутників. Все планіметричних слідства згаданих теорем разом з їх доказами залишаються справедливими на сфері. Так, безліч точок, рівновіддалених від кінців відрізка, буде і на сфері перпендикулярної до нього прямий, що проходить через його середину, звідки випливає, що серединні перпендикуляри до сторін сферичного трикутника AВС мають спільну точку, точніше, дві діаметрально протилежні загальні точки Р і Р ` , що є полюсами його єдиною описаного кола (рис. 8). У стереометрії це означає, що близько будь-якого тригранного кута можна описати конус. Легко перенести на сферу і теорему про те, що бісектриси трикутника перетинаються в центрі його вписаного кола.
Теореми про перетин висот і медіан також залишаються вірними, але їх звичайні докази в планіметрії прямо або побічно використовують паралельність, якої, на сфері немає, і тому простіше довести їх заново, на мові стереометрії. Мал. 9 ілюструє доказ сферичної теореми про медіану: площині, що містять медіани сферичного трикутника АВС. перетинають плоский трикутник з тими ж вершинами по його звичайним медианам, отже, всі вони містять радіус сфери, що проходить через точку перетину плоских медіан. Кінець радіусу і буде загальною точкою трьох «сферичних» медіан.
Властивості сферичних трикутників багато в чому відрізняються від властивостей трикутників на площині. Так, до відомим трьом випадкам рівності прямолінійних трикутників додається ще й четвертий: два трикутника АВС і А`В`С `рівні, якщо рівні відповідно три кути РА = РА`, РВ = РВ `, РС = РС`. Таким чином, на сфері не існує подібних трикутників, більш того, в сферичної геометрії немає самого поняття подібності, тому що не існує перетворень, що змінюють все відстані в однакове (не рівне 1) число раз. Ці особливості пов'язані з порушенням евклідової аксіоми про паралельних прямих і також притаманні геометрії Лобачевського. Трикутники, які мають рівні елементи і різну орієнтацію, називаються симетричними, такі, наприклад, трикутники АС `С і ВСС` (рис. 10).
Якщо розглядати Двуугольнік з кутом a, то при 226 = 2p / n (n - ціле число) сферу можна розрізати рівно на п копій такого двовугільника, а площа сфери дорівнює 4пR 2 = 4p при R = 1, тому площа двовугільника дорівнює 4p / n = 2a. Ця формула вірна і при a = 2pт / п і, отже, правильна для всіх a. Якщо продовжити боку сферичного трикутника АВС і висловити площа сфери через площі утворюються при цьому Двуугольнік з кутами А, В, С і його власну площа, то можна прийти до вищенаведеної формулою Жирара.
Координати на сфері.
Кожна точка на сфері сповна визначається завданням двох чисел; ці числа (координати) визначаються наступним чином (рис. 11). Фіксується деякий велике коло QQ `(екватор), одна з двох точок перетину діаметра сфери PP`, перпендикулярного до площини екватора, з поверхнею сфери, наприклад Р (полюс), і один з великих півкіл PAP `, що виходять з полюса (перший меридіан) . Великі півкола, що виходять з P. називаються меридіанами, малі кола, паралельні екватору, такі, як LL `, - паралелями. В якості однієї з координат точки M на сфері приймається кут q = POM (висота точки), в якості другої - кут j = AON між першим меридіаном і меридіаном, що проходить через точку M (довгота точки, яка відлічується проти годинникової стрілки).
У географії (на глобусі) в якості першого меридіана прийнято використовувати Гринвичский меридіан, що проходить через головний зал Грінвічській обсерваторії (Грінвіч - міський округ Лондона), він поділяє Землю на Східне і Західне півкулі, відповідно і довгота буває східній або західній і вимірюється від 0 до 180 ° в обидві сторони від Грінвіча. А замість висоти точки в географії прийнято використовувати широту. тобто кут NOM = 90 ° - q, відлічуваний від екватора. Оскільки екватор ділить Землю на Північна і Південна півкулі, то і широта буває північній або південній і змінюється від 0 до 90 °.
Стройк Д.Я. Короткий нарис історії математики. М. Наука, 1984