Цілі числа розташуємо в такий спосіб 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, .... n, -n, ...
Тоді кожному числу можна поставити у відповідність натуральне число
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, .... n, -n, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .... 2n-1, 2n, ...
Таким чином доведено, що безліч Z рівнопотужності безлічі N, а значить воно лічильно.
Для доказу ефективної перелічуваних безлічі Z необхідно встановити той факт, що всі елементи безлічі Z можуть бути перебрані за алгоритмом і повинні отримати в результаті такого перебору порядкові номери, причому без пропусків і повторень. Пізніше для деяких випадків застереження «без пропусків і повторень» буде знята, проте важливим залишається факт перерахування за алгоритмом, тобто якимось регулярним чином.
Счетності безлічі раціональних чисел
Визначимо раціональне число як q = n / m, де n і m - цілі числа, причому m не дорівнює 0.
Розглянемо спочатку позитивні раціональні числа і запишемо їх у вигляді нескінченної матриці, рядки і стовпці якої пронумеровані натуральними числами починаючи з 1. Елемент стоїть на перетині i-го рядка і j-ого стовпця отримає найменування qij
Використовуючи діагональний метод, перерахуємо їх (пронумеруємо натуральними числами):
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Т.ч. кожне раціональне число отримає відповідний номер, що означає счетності безлічі раціональних чисел. Факт ефективної перелічуваних безлічі Z безпосередньо випливає з наведеного способу нумерації елементів натуральними числами.
Приклади незчисленних множин:
Безліч дійсних чисел.
Безліч всіх відображень, цілих чисел в цілі.
Безліч всіх підмножин безлічі позитивних
(3) Числова послідовність. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності, зв'язок між ними. Основні теореми про нескінченно малих послідовностей. Шкала нескінченно малих. -сімволіка.
Розглянемо ряд натуральних чисел: 1, 2, 3, .... n -1, n, ....
Якщо замінити кожне натуральне число n в цьому ряду деяким числом un. слідуючи деяким законом, то ми отримаємо новий ряд чисел:
і званий числовою послідовністю. Величина un називається загальним членом послідовності. Зазвичай числова послідовність задається деякою формулою un = f (n), що дозволяє знайти будь-який член послідовності по його номеру n; ця формула називається формулою загального члена. Зауважимо, що задати числову послідовність формулою загального члена не завжди можливо; іноді послідовність задається шляхом опису її членів
Зручним інструментом при вивченні граничних переходів є поняття нескінченно малої послідовності. послідовність
1. Сума і різниця нескінченно малих послідовностей
2. Б \ м послідовність - обмежена.
3. Твір нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.
4. Для того, щоб послідовність
(4) Сходяться послідовності. Межа послідовності, геометричний сенс. Основні теореми про сходяться послідовності. Граничний перехід у нерівностях. Обмежені числові послідовності. Верхня і нижня межі числової послідовності. Точні верхня і нижня межі числової послідовності. Монотонні послідовності. Теорема про збіжність монотонної обмеженої послідовності. Збіжність послідовності при.
Якщо існує кінцевий межа. то послідовність називається збіжної.
Число a називається межею послідовності, якщо для кожного # 949;> 0 існує такий номер N # 949 ;, що для всіх n ≥ N # 949; виконується нерівність | xn - a | <ε,
т. е. При цьому пишуть, що або при n → ∞. Коротко це визначення можна записати так:
Інтервал (a - # 949 ;; a + # 949;) називають # 949; -окрестностью точки a. # 949; -окрестность точки a. Простіше кажучи, число a називається межею послідовності. якщо в будь-який # 949; -окрестності точки a лежать всі члени послідовності, за винятком, може бути, кінцевого їх числа. Звідси легко помітити, що зміна кінцевого числа членів послідовності не впливає ні на факт існування межі, ні на величину останнього.
Теорема Вейєрштрасса. Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має межу.
Доведення:
Нехай для визначеності - зростаюча і обмежена зверху. Зафіксуємо. а так як обмежена, то і. Тоді в силу монотонності заданій послідовності в силу (1.2.1).
Тому. що означає .
Аналогічно теорема доводиться для випадку, коли - спадна і обмежена знизу.
Для того, щоб монотонно зростаюча (спадна) послідовність сходилася, необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена зверху (знизу). Це випливає з твердження, що якщо послідовність має границю, то вона обмежена. і з теореми Вейерштрасса.
Теорема 2.2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Доказ: Нехай. а Нехай - найбільше з чисел. тобто . За визначенням, - обмежена.