I. Поняття множини.
Що ж все-таки є безліч таку! "Безліч є багато, мислиме як єдине" (Г. Кантор). Поняття множини настільки просте, прийняте в повсякденному житті і перенесене в математику, що воно не визначається, але може бути пояснено за допомогою прикладів: безліч міст, безліч держав, безліч учнів. Предмети, об'єкти, що утворюють дане безліч, називаються його елементами. В математиці розглядають тільки ті безлічі, які мають чітко визначеними властивостями, складаються з елементів, що мають деякі загальні властивості.
Є кілька способів позначення множин. Можна переписати всі елементи множини в фігурні дужки.
При цьому ми наочно бачимо, з яких елементів складається безліч. Але цей запис незручна при описі множин з великим числом елементів або множин, число елементів яких неможливо перерахувати повністю, тобто - нескінченних множин. Наприклад, неможливо записати всі елементи множини чисел, які діляться на 10. У цьому випадку безліч записується так:
Для зручності роботи з множинами, їх позначають великою літерою.
Якщо в безлічі немає жодного елемента, то воно називається порожнім безліччю і позначається. Наприклад, безліч крилатих китів, є порожня множина.
Самі безлічі так само можуть бути елементами безлічі
Нехай задано безліч. Елемент 3 належить множині В. це позначається так. Елемент 8 не належить безлічі В. це позначається.
II. Рівність множин.
Дуже важливою особливістю безлічі є те, що в ньому немає однакових елементів, вірніше, що всі вони відмінні один від одного. Це означає, можна записати як завгодно однакових елементів, але виступати вони будуть як один. Тобто безліч не може містити одні й ті ж елементи в декількох варіантах. Припустимо ми записали безліч. У цій множині елемент 7 повторюється кілька разів, але ми його будемо розглядати як один. Тому наше безліч буде.
Розглянемо дві множини і. Ці безлічі складаються з одних і тих же елементів, хоча вони і записані в різному порядку. Такі безлічі називаються рівними. Отже, два безлічі рівні. якщо містять одні й ті ж елементи.
Розглянемо безліч днів в тижні. Запишемо його.
Тепер відберемо лише робочі дні. Вони складають безліч.
Подивимося, в якому співвідношенні знаходиться безліч R. враховуючи його елементи, по відношенню до безлічі S. Можна помітити, що всі елементи множини R входять в безліч S. Значить, безліч R є частиною безлічі S або підмножиною. Отже, якщо кожен елемент якогось безлічі R є в той же час елементом множини S. то можна сказати, що R - підмножина множини S. Позначається це так. Саме безліч S так само є своїм підмножиною. Дуже важливо відзначити, що порожня множина є підмножиною кожного безлічі. Значить, якщо нам потрібно виписати всі підмножини множини, то ми запишемо:.
1. Дано безлічі:- безліч А учнів 5 класу нашої школи;
- безліч В усіх учнів нашої школи;
- безліч З учнів 5 класу нашої школи, які відвідують басейн;
- безліч Е всіх учнів шкіл міста Новокузнецька;
- безліч До учнів 5 математичного класу нашої школи.
- безліч А є підмножина безлічі У;
- безліч А є підмножина безлічі К;
- безліч В є підмножина безлічі Е;
- безліч До є підмножина безлічі С;
Запишіть за допомогою знака I назви множин в такому порядку, щоб кожне наступне безліч було підмножиною попереднього безлічі.
2. Для безлічі випишіть все його підмножини.
IV. Перетин множин.
Розглянемо дві множини і. Складемо нову множину С. в яке запишемо загальні елементи множин А і В. Спільними у них є елементи 5 і 6, значить. Безліч С називається перетином множин А і В. Позначається так:
Перетином множин А і В називається нове безліч, що містить ті і тільки ті елементи, які належать одночасно і безлічі А. і безлічі В.
Нехай Р - безліч учнів математичних класів нашої школи, К - безліч учнів п'ятих класів, тоді (перетином множин Р і К) буде безліч учнів п'ятого математичного класу.
У множин і немає жодного загального елемента, отже, їх перетин є порожня множина Про
1. Дано множини. Знайдіть: а); б); в); г).
2. Знайдіть, якщо а); б)
V. Об'єднання множин.
Візьмемо ті ж два числа й. Складемо тепер безліч Е наступним чином - запишемо в нього елементи, які належать хоча б одній з множин А і В. Отримаємо безліч. Безліч Е називають об'єднанням множин А і В. Позначається
Об'єднанням множин А і В називається нове безліч, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з множин А чи В.
1. Дано множини. Знайдіть: а); б); в); г).
2. Знайдіть якщо і.
VI. Різниця множин.
Візьмемо вже знайомі безлічі і. Складемо нову множину Ф в яке запишемо елементи безлічі А. не входять в безліч В.. Безліч Ф називається різницею множин А і В. Позначається А \ В = Ф.
Різницею двох множин А і В називають таку силу-силенну, в яке входять всі елементи з безлічі А, які не належать безлічі В.
Важливо зауважити, що при відніманні множин можна міняти їх місцями. При знаходженні різниці В \ А в нове безліч ми запишемо елементи безлічі В. які не належать безлічі А. Значить У \ А =.
Дано множини. Знайдіть: а); б); в); г).
Знайдіть і якщо і.
Дано множини. Знайдіть: а); б); в);
г)
VII. Кола Ейлера.
Один з найвидатніших математиків петербурзької академії Леонард Ейлер (1707-1783) за своє довге життя написав понад 850 наукових робіт. В одній з них з'явилися круги, які "дуже підходять для того, щоб полегшити наші роздуми". Ці кола і назвали колами Ейлера. За допомогою цих кіл зручно геометрично ілюструвати операції над множинами. На малюнках представлені ілюстрації дій над множинами. Можна малювати не тільки кола, а й овали, прямокутники та інші геометричні фігури.
За допомогою кіл Ейлера можна вирішувати завдання. Розглянемо одну з них.
Завдання. У класі 35 учнів. З них 20 займаються в математичному гуртку, 11 - в біологічному, 10 хлопців не відвідують ці гуртки. Скільки біологів захоплюються математикою?
Рішення. Зобразимо ці гуртки (рис. 5). Велике коло буде зображувати учнів класу. У це коло помістимо два поменше. Один позначимо літерою М і він буде зображувати математиків класу. Інший коло позначимо Б - біологи класу. Очевидно, в загальній частині кіл, позначеної МБ. виявляться ті самі біологи - математики, які нас цікавлять. Тепер порахуємо: Всього всередині великого кола 35 хлопців, всередині двох менших дітей. Усередині "математичного" кола М знаходяться 20 хлопців, значить, в тій частині "біологічного" кола, яка розташована поза колом М. знаходяться біологів, які не відвідують математичний гурток. Решта біологи, їх людина, знаходяться в загальній частині кіл МБ. Таким чином, 6 біологів захоплюються математикою.
Відповідь. 6 біологів захоплюються математикою.
- У класі 29 учнів. Кожен з них вивчає хоча б одну мову - англійську чи німецьку. Англійська мова вивчають 18 осіб, німецьку мову вивчають 15 осіб. Скільки людей вивчають дві мови і німецький, і англійська?
- У класі 29 учнів. З них 16 займаються музикою, 21 відвідують математичний гурток; 4 не займаються музикою і не відвідують математичний гурток. Скільки учнів відвідують тільки математичний гурток? Скільки математиків займаються і музикою?
- У піонерському таборі 70 дітей. З них 27 займаються в драмгуртку, 32 співають у хорі, 22 захоплюються спортом. У драмгуртку 10 хлопців з хору, в хорі 6 спортсменів, в драмгуртку 8 спортсменів; 3 спортсмена відвідують і драмгурток і хор. Скільки хлопців не співають, не захоплюються спортом, не займаються в драмгуртку? Скільки хлопців зайняті тільки спортом?
- У класі 38 чоловік. З них 16 осіб грають в баскетбол, 17 осіб - в хокей, 18 осіб - в волейбол. Захоплюються двома видами спорту - баскетболом і хокеєм 4 людини, баскетболом і волейболом 3 людини, волейболом і хокеєм 5 осіб. Троє не захоплюються ні баскетболом, ні волейболом, ні хокеєм. Скільки хлопців захоплюються одночасно трьома видами спорту?
Питання до тематичного заліку по темі
"Елементи теорії множин"
- Хто є основоположником теорії множин?
- Які два безлічі є рівними?
- Як називається безліч, в якому немає жодного елемента?
- Складіть безліч і запишіть два елементи належать цій множині і два елемента не належать йому.
- Яка безліч є підмножиною даної множини?
- Для безлічі складіть всі його підмножини.
- Яка безліч є перетином двох множин? Наведіть приклад.
- Яка безліч є об'єднанням двох множин? Наведіть приклад.
- Як віднімаються безлічі? Наведіть приклад.
Необхідні вміння. показувати перетин, об'єднання, різниця множин на колах Ейлера; знаходити перетин, об'єднання, різниця множин, розв'язувати комбіновані приклади; вирішувати найпростіші завдання за допомогою кіл Ейлера.