Розрахунок похибки непрямих вимірювань

Попередня ↔ Наступна

В результаті прямого вимірювання виходить не справжнє значення х вимірюваної величини, а серія

ізn значень

. нехай тепер

Підсумовуючи останню рівність, отримаємо

де

середньо арифметичне виміряних значень

. Таким чином,

З цього простого результату випливають досить важливі слідства. Дійсно, при

значить, при нескінченно великому числі вимірювань

і, отже, при конечнихn результат тим ближче до середнього арифметичного, чим більше число вимірювань. Звідси також випливає, що при оцінці ΔХ як

доцільно взяти

На практиці n звичайно і

. У завдання математичної теорії випадкової похибки входить оцінка інтервалу

в якому укладено істинне значення вимірюваної величини. Інтервал (9) називається довірчим інтервалом. а величина

-абсолютної похибкою результату серії вимірювань. Теорія оцінки Δх досить складна, тому тут будуть розглянуті лише її основні результати. Перш за все потрібно відзначити, що, оскільки х - випадкова величина, помилка Δх може бути визначена лише з тим або іншим ступенем надежностіα. яку також називають довірчою ймовірністю. Довірча ймовірність - це ймовірність того, що істинне значення вимірюваної величини х потрапляє в довірчий інтервал (9). Якщо покласти α = 1 (100%), то це буде відповідати достовірного події, тобто ймовірності того, що х приймає якесь значення в інтервалі (

). При цьому

. Очевидно, такий вибір надёжностіα недоцільний. При малих α довірчий інтервал Δх визначається з малою вірогідністю. Надалі ми будемо вважати α = 0.90 або 0.95. Довірчий інтервал і надійність взаємопов'язані. Для оцінки меж довірчого інтервалу англійський математик В. Госсет (публікував свої роботи під псевдонімом Стьюдент) ввів в 1908 р коефіцієнт:

рівний відношенню похибки Δхк середньої квадратичної помилку *

коефіцієнт

залежить від надёжностіα. а також від числа вимірювань n і називається коефіцієнтом Стьюдента. Цей коефіцієнт табульованих (див. Додаток 1), тому розрахувавши

і задавши довірчу вероятностьα. неважко знайти випадкову помилку:

При непрямих вимірах яка вимірюється величина f знаходиться з функціональної залежності:

де x. y. z - результати прямих вимірювань. Формулу для Δf можна отримати, замінивши в (2) диференціали похибками і взявши всі складові по модулю

Співвідношення (13) рекомендується для оцінки похибки Δf. обумовленої приладовими похибками величини x, y, z, ... Для оцінки похибки, пов'язаної з випадковими помилками прямих вимірювань, рекомендується співвідношення:

Слід правда зазначити, що формули (13) і (14) призводять практично до однакових результатів. Похідні в (13) і (14) беруться при середніх, тобто при виміряних значеннях аргументів.

Дуже часто функція f представлена статечної залежністю від аргументів

де c, n, m і p - постійні. Приватним випадками формули (15) є соотнощеніе

та ін.

Завдання. Покажіть, що для функції виду (15) формули (13) і (14) приймають вид:

Зі співвідношень (13) і (14) випливає, що для статечних функцій розрахунок погрещностей істотно спрощується, причому доцільно спочатку знайти відносну похибку, яка виражається через відносну похибка прямих вимірювань, а потім знайти абсолютну похибку

під

розуміється функція від середніх (виміряних) значень аргументів

Алгоритм розрахунку похибок

- Для прямих вимірювань

1. Обчислити середнє арифметичне результатів

серії з n вимірювань:

Зауваження: при розрахунку

зручніше виходити з формули:

де

- будь-який зручний значення, близьке до

2. Знайти відхилення окремих вимірювань від середнього значення

3. Виключити промахи.

4. Розрахувати середню квадратичну похибку результату серії вимірювань

Зауваження. при

можна покласти

і розраховувати

за формулою

5. Якщо

, то випадкову помилку годі й рас-зчитувати.

6. В іншому випадку задати довірчу ймовірність

і знайти по таблиці коефіцієнт Стьюдента

7. Розрахувати кордону довірчого інтервалу

Зауваження 1. Якщо приладова похибка

має той же порядок величини що і

, то абсолютна похибка результату серії вимірювань знаходиться за формулою:

де

Практично в якості

можна взяти табличне значення

відповідає самому велико-му з наведених в ній значенійп (наприклад, п = 500).

Зауваження 2. При великій кількості вимірювань

можна по-ложить

8. Результат вимірювання представити у вигляді:

- Для непрямих вимірювань

похибка

непрямого вимірювання можна розрахувати за однією з формул (13), (14), (13 *), (14 *). Дві останні формули виконан-ються для статечних залежностей, а співвідношення (13) і (14) мають вплив на-ють загальний характер.

Зведення співвідношень для розрахунку похибки непрямого вимірювань-ня для деяких простих функціональних за-залежностей представлена в таблиці.

Розрахунок похибки непрямих вимірювань

Алгоритм розрахунку похибок

Схожі статті