Середнє арифметичне не є універсальною характеристикою варіюють об'єктів. При однакових середніх арифметичних ознаки можуть відрізнятися за величиною і характером варіювання. Тому використовують показники варіації. Одним з таких показників є ліміти, що позначаються символом lim. Під цим терміном розуміють значення мінімальної Хmin і максимальної Хmax варіант сукупності.
Розмах варіації - це показник, який представляє собою різницю між максимальною і мінімальною варіантами сукупності, тобто R = Хmax- Хmin. Чим сильніше варіює ознака, тим більше розмах варіації, і, навпаки, чим слабкіше варіація ознаки, тим менше буде розмах варіації.
3. Середнє квадратичне відхилення # 963; (Стандартне оклонения sx).
Середнє арифметичне вказує на те, яке значення ознаки найбільш характерно для даної сукупності. Але сама по собі вона ще недостатня для характеристики сукупності, тому що головною особливістю сукупності є наявність різноманітності між її членами, тобто варіації. Для характеристики варіації використовують показник середнього квадратичного відхилення, який узагальнює коливання всіх варіант. Середнє квадратичне відхилення # 963; визначають за формулою:
де - відхилення значень кожної варіанти від середньої арифметичної,
n - 1 - число ступенів свободи.
Виражається в тих же одиницях, що і середнє арифметичне. середнє крадратіческое отклоденеіе показує, на скільки в середньому відрізняється кожна з варіант від середнього арифметичного. У разі рівного розподілу середніх арифметичних і розмаху варіації, чим більше величина # 963 ;, тим більше мінливість.
Судження про ступінь мінливості за величиною середнього квадратичного відхилення стає неможливим, якщо середні нерівні і тим більше якщо треба порівнювати мінливість різних ознак. Тому для характеристики мінливості вводять відносну величину коефіцієнта варіації V. Коефіцієнт варіації визначається за формулою:
де # 963; - середньоквадратичне відхилення,
Чим більше однорідний досліджуваний матеріал, тим меншим виявиться коефіцієнт варіації. Однак навіть при достатній однорідності матеріалу ступінь мінливості різних ознак може бути різною. Але щодо одного і того ж ознаки значення цього показника залишається більш-менш стійким і зазвичай не перевищує 50%. Варіювання вважається слабким, якщо не перевершує 10%, середнім, коли V становить 11-25%, і значним при V> 25%.
Відхилення тій чи іншій варіанти від середньої арифметичної, віднесене до величини середнього квадратичного відхилення, називають нормованим відхиленням. Нормоване відхилення tн обчислюється за формулою:
де - відхилення будь-які варіанти від середньої арифметичної,
# 963; - середньоквадратичне відхилення.
tн виражається в сигмах (# 963;).
Цей показник дозволяє виміряти відхилення окремих варіант від середнього рівня і порівнювати їх для різних ознак.
Нормоване відхилення використовують при роботі з нормальним розподілом (див. Рис. 2). Нормальний розподіл займає найважливіше місце в біологічній статистикою, тому що багато емпіричні розподілу біологічних ознак, що характеризуються безперервною варіацією, наближаються до нормального.
Закон нормального розподілу висловлює функціональну залежність між імовірністю P і нормованим відхиленням tн. Він стверджує, що ймовірність відхилення кожен вид від центру розподілу визначається функцією нормованого відхилення. Графічно ця функція виражається у вигляді кривої ймовірності, званої нормальної кривої. Форма цієї кривої визначається значенням # 963 ;. Зміна цієї величини тягне за собою зміну ширини кривої: при зменшенні # 963; крива робиться більш вузької за рахунок меншого розсіювання варіант навколо середньої, а при збільшенні # 963; крива розширюється (рис. 3).
Розміщення варіант в варіаційної ряду при нормальному розподілі характеризується певними закономірностями. У нормальної кривої відхилення від середньої арифметичної практично охоплюють приблизно 6 сигм: від -3 # 963; до + 3 # 963; (Рис. 4).
Знаючи вариационную криву розподілу варіант з того чи іншою ознакою і припускаючи, що розподіл є нормальним, можна заздалегідь передбачити, який відсоток вивчених особин (або варіант) укладається в межах ± 1 # 963; в межах ± 2 # 963 ;, в межах ± 3 # 963 ;. Так, в межах ± 1 # 963; розташовується 68,3% всіх варіант даного ряду, в межах ± 2 # 963; - 95,5% і в межах ± 3 # 963; - 99,7% всіх варіант. Цей висновок отримав назву правила трьох сигм. Розподіл t вказує на закономірність зменшення кількості варіант в міру віддалення від середньої арифметичної.