Вперше це зробив німецький художник Альбрехт Дюрер (1441-1528г.г.), Що випустив в 1514 році гравюру «Меланхолія», на якій в правому верхньому куті є зображення магічного квадрата четвертого порядку. Причому, два числа в середині нижнього рядка вказують
на рік створення гравюри - 1514. Цей факт говорить про вміння в той час складати магічні квадрати з певним заданим розташуванням деяких чисел. Кажуть, що гравюра А.Дюрера послужила поштовхом для знаменитих пророцтв Нострадамуса (1503-1566гг.).
Магічним квадратах приписували різні містичні властивості. У 16 ст. Корнелій Генріх Агріппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го та 9-го порядків, які були пов'язані з астрологією 7 планет з Сатурном, Юпітером, Марсом, Сонцем, Венерою, Меркурієм, Місяцем.
Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати.
Складання магічних квадратів було справою не тільки астрологів або нероб, які шукають забави. Теорію їх розробляли багато видатних математики. У 1654 році французький вчений Блез Паскаль написав трактат, повністю присвячений магічним квадратах. Надалі до теорії магічних квадратів зверталися багато видатних математики. Вона знаходить застосування в ряді важливих математичних питань. Висновки теорії магічних квадратів використовуються в одному з методів вирішення систем рівнянь з багатьма невідомими і навіть в сучасній квантовій механіці.
А любителям математики складання квадратів служило хорошою гімнастикою розуму і у свій час настільки ж процвітало, як захоплення кросвордами в наші дні. Особливо старанним вистачало терпіння, щоб скласти. наприклад, квадрат 43-го порядку з числами від 1 до 1849. Один тільки факт: в 1838 році, коли про математичних квадратах було відомо набагато менше, ніж тепер, у Франції був надрукований трактат на цю тему, що складається з трьох об'ємних томів. Однак повного опису всіх можливих магічних квадратів ніхто не почув і до цих пір.
Магічний квадрат другого порядку не існує. У цьому легко переконатися випробуванням. З огляду на симетрію квадрата, абсолютно байдуже, в який з чотирьох кутів ми поставимо 1, припустимо в лівий нижній кут. У розташуванні чисел по одній діагоналі можливі три варіанти:
У магічному квадраті 3х3 магічною постійної 15 повинні бути рівні сумі трьох чисел у 8 напрямках: по 3 рядках, 3 стовпцях і 2 діагоналям. Так як число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 колонку і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відомо: воно дорівнює 5.
Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел. Ми не можемо помістити його в кут, так як кожна кутова клітина належить 3 трійкам: рядку, стовпці і діагоналі. Отже, число 9 має стояти в якійсь клітині, що примикає до сторони квадрата в її середині. Через симетрії квадрата байдуже, яку з сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоять в центральній клітці. По обидва боки від дев'ятки в верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яка з цих двох чисел виявиться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову - таки не має значення, так як одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному відображенні . Решта клітини заповнюються автоматично. Проведене нами просте побудова магічного квадрата 3х3 доводить його єдиність.
Такий магічний квадрат був у древніх китайців символом великого значення. Цифра 5 в середині означала землю, а навколо неї в строгій рівновазі розташовувалися вогонь (2 і 7), вода (1 і 6), дерево (3 і 8), метал (4 і 9).
Ми вже довели, що магічного квадрата другого порядку не існує і можна скласти єдиний магічний квадрат третього порядку, якщо не брати до уваги його відображення і повороти. На черзі - квадрат четвертого порядку. Виявилося, що зі зростанням порядку, кількість різних магічних квадратів збільшується дуже різко. Несиметричних магічних квадратів четвертого порядку існує 880, з урахуванням поворотів і відображень це число збільшується до 7040.
За останніми даними для магічних квадратів п'ятого порядку існує 275 305 224 можливих варіантів.
Магічний квадрат Піфагора.
Великий вчений Піфагор, який заснував релігійно - філософське вчення, яке проголосило кількісні відносини основою сутності речей, вважав, що сутність людини полягає теж в числі - датою народження. Тому за допомогою магічного квадрата Піфагора можна пізнати характер людини, ступінь відпущеного здоров'я і його потенційні можливості, розкрити переваги і недоліки і тим самим виявити, що слід зробити для його вдосконалення.
Для того, щоб зрозуміти, що таке магічний квадрат Піфагора і як підраховуються його показники, зроблю його розрахунок на своєму прикладі. А щоб переконатися, що результати підрахунку дійсно відповідають реальному характеру тієї чи іншої особистості, спочатку я перевірю його на собі.
Для виконання розрахунку необхідно розглядати кожну дату народження як набір цифр, а не чисел. Запис дати народження проводиться в суворій послідовності, однозначні числа записуються без нулів перед ними.
1. Обчислимо перше число: для розрахунку першого числа необхідно скласти всі цифри числового ряду дати народження 1 + 3 + 2 + 1 + 9 + 9 + 6 = 31, перше число - 31.
2. Обчислимо друге число: для розрахунку другого числа необхідно скласти цифри, з яких складається перше число 3 + 1 = 4, друге число - 4.
3. Обчислимо третє число: для розрахунку третього числа необхідно відняти з першого числа першу цифру всього ряду (в моєму прикладі цифра 1), помножену на постійний множник - 2.
31 - 2 ∙ 1 = 29, третє число - 29.
4. Обчислимо четверте число. Для обчислення четвертого числа необхідно скласти цифри, з яких складається третє число 2 + 9 = 11, четверте число - 11. Запишемо отримані числа під датою народження:
Осередки квадрата означають наступне:
Осередок 1 - цілеспрямованість, воля, завзятість, егоїзм.
1 - закінчені егоїсти, прагнуть будь-якому положенні отримати максимальну вигоду.
11 - характер, близький до егоїстичного.
111 - «золота середина». Характер спокійний, поступливий, комунікабельний.
1111 - люди сильного характеру, вольові. Чоловіки з таким характером підходять на роль військових - професіоналів, а жінки тримають свою сім'ю в кулаці.
11111 - диктатор, самодур.
111111 - людина жорстокий, здатний зробити неможливе; нерідко потрапляє під вплив якоїсь - то ідеї.
Осередок 2 - біоенергетика, емоційність, душевність, чуттєвість. Кількість двійок визначає рівень біоенергетики.
Двійок немає - відкритий канал для інтенсивного набору біоенергетики. Ці люди виховані і благородні від природи.
2 - звичайні в біоенергетичному відношенні люди. Такі люди дуже чутливі до змін в атмосфері.
22 - щодо великий запас біоенергетики. З таких людей виходять гарні лікарі, медсестри, санітари. У родині таких людей рідко у кого бувають нервові стреси.
222 - знак екстрасенса.
Осередок 3 - точність, конкретність, організованість, акуратність, пунктуальність, охайність, скупість, схильність до постійного «відновлення справедливості».
Наростання трійок підсилює всі ці якості. З ними людині є сенс шукати себе в науках, особливо точних. Перевага трійок породжує педантів, людей в футлярі.
Осередок 4 - здоров'я. Це пов'язано з екгрегором, тобто енергетичним простором, напрацьованим предками і захищає людину. Відсутність четвірок свідчить про хворобливість людини.
4 - здоров'я середнє, необхідно загартовувати організм. З видів спорту рекомендуються плавання і біг.
44 - здоров'я міцне.
444 і більше - люди з дуже міцним здоров'ям.
Осередок 5 - інтуїція, ясновидіння, що починається проявлятися у таких людей вже на рівні трьох п'ятірок.
П'ятірок немає - канал зв'язку з космосом закритий. Ці люди часто
5 - канал зв'язку відкритий. Ці люди можуть правильно розрахувати ситуацію витягти з неї максимальну користь.
55 - сильно розвинена інтуїція. Коли бачать «віщі сни», можуть передбачати хід подій. Відповідні для них професії - юрист, слідчий.
555 - майже ясновидці.
Осередок 6 - приземленість, матеріальність, розрахунок, схильність до кількісному освоєння світу і недовіра до якісних стрибків і тим більше до чудес духовного порядку.
Шісток немає - цим людям необхідна фізична праця, хоча вони його, як правило, не люблять. Вони наділені неординарним уявою, фантазією, художнім смаком. Тонкі натури, вони тим не менш здатні на вчинок.
6 - можуть займатися творчістю або точними науками, але фізична праця є обов'язковою умовою існування.
66 - люди дуже заземлені, тягнуться до фізичної праці, хоча якраз для них він не обов'язковий; бажана розумова діяльність або заняття мистецтвом.
666 - знак Сатани, особливий і зловісний знак. Ці люди мають підвищений темпераментом, чарівні, незмінно стають в суспільстві центром уваги.
6666 - ці люди в своїх попередніх втіленнях набрали занадто багато заземленности, вони дуже багато працювали і не уявляють своє життя без праці. Якщо в їх квадраті є
дев'ятки, їм обов'язково потрібно займатися розумовою діяльністю, розвивати інтелект, хоча б здобути вищу освіту.
Осередок 7 - кількість сімок визначає міру таланту.
7 - чим більше вони працюють, тим більше отримують згодом.
77 - дуже обдаровані, музичні люди, володіють тонким художнім смаком, можуть мати схильність до образотворчого мистецтва.
777 - ці люди, як правило, приходять на Землю ненадовго. Вони добрі, спокійні, болісно сприймають будь-яку несправедливість. Вони чутливі, люблять мріяти, не завжди відчувають реальність.
7777 - знак Ангела. Люди з таким знаком вмирають в дитинстві, а якщо і живуть, то їх життя постійно загрожує небезпека.
Осередок 8 - карма, борг, обов'язок, відповідальність. Кількість вісімок визначає ступінь почуття боргу.
Вісімок немає - у цих людей майже повністю відсутнє почуття обов'язку.
8 - натури відповідальні, сумлінні, точні.
88 - у цих людей розвинене почуття обов'язку, їх завжди відрізняє бажання допомогти іншим, особливо слабким, хворим, одиноким.
888 - знак великого боргу, знак служіння народу. Правитель з трьома вісімками домагається видатних результатів.
8888 - ці люди мають парапсихологическими здібностями та виключної сприйнятливістю до точних наук. Їм відкриті надприродні шляху.
Осередок 9 - розум, мудрість. Відсутність дев'яток - свідоцтво того, що розумові здібності вкрай обмежені.
9 - ці люди повинні все життя наполегливо працювати, щоб заповнити недолік розуму.
99 - ці люди розумні від народження. Вчаться завжди неохоче, тому що знання даються їм легко. Вони наділені почуттям гумору з іронічним відтінком, незалежні.
999 - дуже розумні. До вчення взагалі не прикладають ніяких зусиль. Прекрасні співрозмовники.
9999 - цим людям відкривається істина. Якщо у них до того ж розвинена інтуїція, то вони гарантовані від провалу в будь-якому зі своїх починань. При цьому вони, як правило, досить приємні, так як гострий розум робить їх грубими, немилосердними і жорстокими.
Отже, склавши магічний квадрат Піфагора і знаючи значення всіх комбінацій цифр, що входять в його осередку, ви зможете в достатній мірі оцінити ті якості вашої натури, якими наділила матінка - природа.
Не дивлячись на те, що математиків цікавили в основному магічні квадрати найбільше застосування в науці і техніці знайшли латинські квадрати.
Латинським квадратом називається квадрат n х n клітин, в яких написані числа 1, 2, ..., n. притому так, що в кожному рядку і кожному стовпці зустрічаються всі ці числа по одному разу. На малюнку зображені два таких квадрата 4 х 4. Вони володіють цікавою особливістю: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари одержані чисел виявляються різними. Такі пари латинських квадратів називаються ортогональними.
Ейлер не зміг знайти вирішення цього завдання. У 1901 р було доведено, що такого рішення не існує. У той же час Ейлер довів, що ортогональні пари латинських квадратів існують для всіх непарних значень n і для таких парних значень n, які діляться на 4. Ейлер висунув гіпотезу, що для інших значень n, тобто якщо число n при діленні на 4 дасть в залишку 2, ортогональних квадратів не існує. У 1901 р було доведено, що ортогональних квадратів 6 х 6 не існує, і це посилювало впевненість в справедливості гіпотези Ейлера. Однак в 1959 р допомогою ЕОМ були знайдені спочатку ортогональні квадрати 10 х 10, потім 14 х 14, 18 х 18, 22 х 22. А потім було показано, що для будь-якого n. крім 6, існують ортогональні квадрати n х n.
Магічні і латинські квадрати - близькі родичі. Нехай ми маємо два ортогональних квадрата. Заповнимо клітини нового квадрата тих же розмірів наступним чином. Поставимо туди число n (a - 1) + b, де а - число в такій клітці першого квадрата, а b - число в такий же клітці другого квадрата. Неважко зрозуміти, що в отриманому квадраті суми чисел в рядках і стовпцях (але не обов'язково на діагоналях) будуть однакові.
Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування як в самій математиці, так і в її додатках. Використання ортогональних латинських квадратів допомагає врахувати всі можливі варіанти в експериментах в сільському господарстві, фізики, хімії, техніці.
У цьому рефераті розглянуті питання, пов'язані з історією розвитку одного з питань математики, який обіймав уми дуже багатьох великих людей, - магічних квадратів. Незважаючи на те, що власне магічні квадрати не знайшли широкого застосування в науці і техніці, вони спонукали на заняття математикою безліч непересічних людей і сприяли розвитку інших розділів математики (теорії груп, визначників, матриць і т.д.).
Найближчі родичі магічних квадратів - латинські квадрати знайшли численні застосування як в математиці, так і в її додатках при постановці і обробці результатів експериментів. У рефераті наведено приклад постановки такого експерименту.
У рефераті також розглянуто питання про квадраті Піфагора, що представляє історичний інтерес і, можливо, корисному для складання психологічного портрета особистості.
Список використаної літератури:
1. Енциклопедичний словник юного математика. М. «Педагогіка», 1985 р.