Федеральне агентство з освіти Російської Федерації
Державна освітня установа вищої професійної освіти Південно-Уральський державний університет.
Кафедра «Товарознавство та експертиза споживчих товарів»
«Криві другого порядку: еліпс, коло, парабола, гіпербола»
З дисципліни Вища математика.
Пермінов Олександра Миколаївна
студент групи 131
Кравченко Ольга Володимирівна
Криві другого порядку: еліпс, коло, парабола, гіпербола.
Кривими другого порядку на площині називаються лінії перетину кругового конуса з площинами, не проходить через його вершину.
Якщо така площину перетинає всі утворюють однієї порожнини конуса, то в перерізі виходить еліпс. при перетині утворюють обох порожнин - гіпербола. а якщо січна площина паралельна будь-якої утворює, то перетином конуса є парабола.
Крива другого порядку на площині в прямокутній системі координат описується рівнянням:
Безліч всіх точок на площині, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 є задана постійна величина, називається еліпсом.
Канонічне рівняння еліпса.
Для будь-якого еліпса можна знайти декартову систему координат таку, що еліпс буде описуватися рівнянням (канонічне рівняння еліпса):
Воно описує еліпс з центром на початку координат, осі якого збігаються з осями координат. Число a називають велика піввісь еліпса. а число b - його малої полуосью.
- Фокальне властивість. Якщо F1 і F2 - фокуси еліпса, то для будь-якої точки X, що належить еліпсу, кут між дотичній в цій точці і прямий (F1X) дорівнює куту між цією дотичній і прямий (F2X).
- Пряма, проведена через середини відрізків, відсічені двома паралельними прямими, що перетинають еліпс, завжди буде проходити через центр еліпса. Це дозволяє побудовою за допомогою циркуля і лінійки легко отримати центр еліпса, а в подальшому осі, вершини і фокуси.
- Еволюта еліпса є астроїда.
- Ексцентриситетом еліпса називається відношення. Ексцентриситет характеризує витягнутість еліпса. Чим ексцентриситет ближче до нуля, тим еліпс більше нагадує коло і навпаки, чим ексцентриситет ближче до одиниці, тим він більш витягнутий.
Еліпс також можна описати як
- фігуру, яку можна отримати з кола, застосовуючи Афінний перетворення
- ортогональную проекцію окружність на площину.
- Перетин площини і кругового циліндра.
Канонічне рівняння кола.
Загальне рівняння кола записується як:
Точка - центр окружності, R - її радіус.
Рівняння кола радіуса R з центром на початку координат:
- Пряма може не мати з колом спільних точок; мати з колом одну спільну точку (дотична); мати з нею дві загальні точки (січна).
- Дотична до кола завжди перпендикулярна її діаметру, один з кінців якого є точкою дотику.
- Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести окружність, і до того ж тільки одну.
- Точка дотику двох кіл лежить на лінії, що з'єднує їх центри.
- Довжину кола з радіусом R можна обчислити за формулою C = 2π R.
- Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
- Два вписаних кута, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
- Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90 °.
- Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза кола дорівнює полуразность заходів дуг, що лежать між січними.
- Кут між пересічними хордами дорівнює напівсумі заходів дуги лежить в вугіллі і дуги навпроти неї.
- Кут між дотичною та хордою дорівнює половині дуги, стягують хордою.
- Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні і складають рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
- При перетині двох хорд твір відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків інший.
- Твір довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола і січною проходить через обрану точку не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступеня точки щодо кола.
-
Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині ступеня точки щодо кола.
Параболою називається безліч точок площині, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, званої фокусом, і від даної прямої, званої директоркою і не проходить через фокус.
Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:
(Або, якщо поміняти місцями осі)
де р (фокальний параметр) - відстань від фокуса до директриси
- Парабола - крива другого порядку.
- Вона має вісь симетрії, званої віссю параболи. Ось проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
- Пучок променів паралельних осі, відбиваючись в параболі, збирається в її фокусі. Для параболи з вершиною в початку координат (0; 0) і позитивним напрямом гілок фокус знаходиться в точці (0; 0,25).
- Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.
- Парабола є антіподерой прямий.
- Все параболи подібні. Відстань між фокусом і директоркою визначає масштаб.
- При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.
· Пряма перетинає параболу не більше ніж в двох точках.
· Ексцентриситет параболи е = 1.
Геометричне місце точок площини, для яких різниця відстаней до двох фіксованих точок є величина постійна, називають гіперболою.
Числа і називаються відповідно і уявною півосями гіперболи.
· Гіпербола має дві осі симетрії (головні осі гіперболи) і центр симетрії (центр гіперболи). При цьому одна з цих осей перетинається з гіперболою в двох точках, званих вершинами гіперболи. Вона називається дійсною віссю гіперболи (вісь Ох для канонічного вибору координатної системи). Інша вісь не має спільних точок з гіперболою і називається її уявної віссю (в канонічних координатах - вісь Оу). По обидва боки від неї розташовані права і ліва гілки гіперболи. Фокуси гіперболи розташовуються на її дійсної осі.
· Кожна гіпербола має пару асимптот: і.
· Відстань від початку координат до одного з фокусів гіперболи називають фокусною відстанню гіперболи.
· Ексцентриситетом гіперболи називається величина е = с / а. Ексцентриситет гіперболи e> 1
· Відстань від вершини гіперболи до асимптоти вздовж напрямку паралельного осі ординат називається малої чи уявної полуосью гіперболи.
· Відстань від фокуса до гіперболи вздовж прямої, паралельної осі ординат називається фокальним параметром ..