Історія виникнення математики
Найдавнішою математичної діяльністю був рахунок. Рахунок був необхідний, щоб стежити за поголів'ям худоби і вести торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи їм різні частини тіла, головним чином, пальці рук і ніг. Наскальний малюнок, що зберігся до наших часів від кам'яного віку, зображує число 35 у вигляді серії збудованих в ряд 35 паличок-пальців. Першими суттєвими успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа і винахід чотирьох основних дій: додавання, віднімання, множення і ділення. Перші досягнення геометрії пов'язані з такими простими поняттями, як пряма і окружність. Подальший розвиток математики почалося приблизно 3000 років до н.е. завдяки вавилоняни і єгиптянам.
Вавилон і ЄГИПЕТ
Математика на клинописних табличках в основному була пов'язана з веденням господарства. Арифметика і нехитра алгебра використовувалися при обміні грошей і розрахунках за товари, обчисленні простих і складних відсотків, податків і частки врожаю, що здається на користь держави, храму або землевласника. Численні арифметичні і геометричні завдання виникали у зв'язку з будівництвом каналів, зерносховищ і іншими суспільними роботами. Дуже важливим завданням математики був розрахунок календаря, оскільки календар використовувався для визначення термінів сільськогосподарських робіт і релігійних свят. Поділ кола на 360, а градуси і хвилини - на 60 частин беруть початок в вавилонській астрономії. Вавилоняни створили і систему числення, що використала для чисел від 1 до 59 підставу 10. Символ, що позначав одиницю, повторювався потрібну кількість разів для чисел від 1 до 9. Для позначення чисел від 11 до 59 вавілоняни використовували комбінацію символу числа 10 і символу одиниці. Для позначення чисел починаючи з 60 і більше вавілоняни ввели позиційну систему числення з основою 60. Істотним просуванням став позиційний принцип, згідно з яким один і той же числовий знак (символ) має різні значення в залежності від того місця, де він розташований. Прикладом можуть служити значення шестірки в записі (сучасною) числа 606. Проте нуль в системі числення стародавніх вавилонян був відсутній, через що один і той же набір символів міг означати і число 65 (60 + 5), і число 3605 (602 + 0 + 5). Виникали неоднозначності і в трактуванні дробів. Наприклад, одні і ті ж символи могли означати і число 21, і дріб 21/60 і (20/60 + 1/602). Неоднозначність дозволялася в залежності від конкретного контексту.
Вавилоняни склали таблиці зворотних чисел (які використовувалися при виконанні ділення), таблиці квадратів і квадратних коренів, а також таблиці кубів і кубічних коренів. Клинописні тексти, присвячені вирішенню алгебраїчних і геометричних завдань, свідчать про те, що вони користувалися квадратичної формулою для вирішення квадратних рівнянь і могли вирішувати деякі спеціальні типи завдань, що включали до десяти рівнянь з десятьма невідомими, а також окремі різновиди кубічних рівнянь і рівнянь четвертого ступеня. На глиняних табличках відображені тільки завдання і основні кроки процедур їх вирішення. Так як для позначення невідомих величин використовувалася геометрична термінологія, то й методи рішення в основному полягали в геометричних діях з лініями і площами. Що стосується алгебраїчних задач, то вони формулювалися і вирішувалися в словесних позначеннях. Близько 700 р до н.е. вавилоняни стали застосовувати математику для дослідження рухів Місяця і планет. Це дозволило їм пророкувати положення планет, що було важливо як для астрології, так і для астрономії. В геометрії вавілоняни знали про таких співвідношеннях, наприклад, як пропорційність відповідних сторін подібних трикутників. Їм була відома теорема Піфагора і те, що кут, вписаний в півколо, буде тільки прямий. Вони мали також правилами обчислення площ простих плоских фігур, в тому числі правильних багатокутників, і обсягів простих тіл. Число "пі" вавилоняни вважали рівним 3.
Єгипет. Наше знання староєгипетської математики грунтується головним чином на двох папірусах, датованих приблизно 1700 г. до н.е. Викладені в цих папірусах математичні відомості сягають ще більш раннього періоду - бл. 3500 до н.е. Єгиптяни використовували математику, щоб обчислювати вага тіл, площі посівів і обсяги зерносховищ, розміри податей і кількість каменів, необхідну для зведення тих чи інших споруд. У папірусах можна знайти також завдання, пов'язані з визначенням кількості зерна, необхідного для приготування заданого числа кухлів пива, а також більш складні завдання, пов'язані з різницею в сортах зерна: для цих випадків обчислювалися перекладні коефіцієнти. Але головною областю застосування математики була астрономія, точніше, розрахунки, пов'язані з календарем. Календар використовувався для визначення дат релігійних свят і передбачення щорічних повеней Нілу. Однак рівень розвитку астрономії в Стародавньому Єгипті набагато поступався рівню її розвитку в Вавилоні. Давньоєгипетська писемність грунтувалася на ієрогліфах. Система числення того періоду також поступалася вавілонської. Єгиптяни користувалися непозиционной десяткової системою, в якій числа від 1 до 9 позначалися відповідним числом вертикальних рисок, а для послідовних ступенів числа 10 вводилися індивідуальні символи. Послідовно комбінуючи ці символи, можна було записати будь-яке число. З появою папірусу виникло так зване ієратичне лист-скоропис, що сприяло, в свою чергу, появі нової числової системи. Для кожного з чисел від 1 до 9 і для кожного з перших дев'яти кратних чисел 10, 100 і т.д. використовувався спеціальний розпізнавальний символ. Дробу записувалися у вигляді суми дробів з чисельником, рівним одиниці. З такими дробами єгиптяни виробляли всі чотири арифметичні операції, але процедура таких обчислень залишалася дуже громіздкою. Геометрія у єгиптян зводилася до обчислень площ прямокутників, трикутників, трапецій, кола, а також формулами обчислення обсягів деяких тіл. Треба сказати, що математика, яку єгиптяни використовували при будівництві пірамід, була простою і примітивною. Завдання і рішення, наведені в папірусах, сформульовані чисто рецептурно, без яких би то не було пояснень. Єгиптяни мали справу тільки з найпростішими типами квадратних рівнянь і арифметичній і геометричній прогресіями, а тому і ті загальні правила, які вони змогли вивести, були також самого найпростішого виду. Ні вавилонська, ні єгипетська математики не мали загальними методами - весь звід математичних знань був скупчення емпіричних формул і правил.
Класична Греція. З точки зору XX в. родоначальниками математики з'явилися греки класичного періоду (VI-IV ст. до н.е.). Математика, існувала в більш ранній період, була набором емпіричних висновків. Навпаки, в дедуктивному міркуванні нове твердження виводиться з прийнятих посилок способом, виключав можливість його неприйняття. Греки наполягали на дедуктивному доказі, і це було екстраординарним кроком. Жодна інша цивілізація не дійшла до ідеї отримання висновків виключно на основі дедуктивного міркування, що виходить із явно сформульованих аксіом. Одне з пояснень прихильності греків методам дедукції знаходимо в пристрої грецького суспільства класичного періоду. Математики і філософи (нерідко це були одні й ті ж особи) належали до вищих верств суспільства, де будь-яка практична діяльність розглядалася як негідне заняття. Математики воліли абстрактні міркування про числах і просторових відносинах рішенню практичних завдань. Математика ділилася на арифметику - теоретичний аспект і логістику - обчислювальний аспект. Займатися логістикою надавали вільнонародженим нижчих класів і рабам. Грецька система числення була заснована на використанні букв алфавіту. Аттична система, що була у ходу з VI-III ст. до н.е. використовувала для позначення одиниці вертикальну риску, а для позначення чисел 5, 10, 100, 1000 і 10 000 - початкові букви їх грецьких назв. У більш пізньої, ионической системі числення для позначення чисел використовувалися 24 літери грецького алфавіту і три архаїчні літери. Кратна 1000 до 9000 позначалися так само, як перші дев'ять цілих чисел від 1 до 9, але перед кожною буквою ставилася вертикальна риса. Десятки тисяч позначалися буквою М (від грецького міріоі - 10 000), після якої ставилося то число, на яке потрібно було помножити десять тисяч. Дедуктивний характер грецької математики повністю сформувався до часу Платона і Аристотеля. Винахід дедуктивної математики прийнято приписувати Фалесу Мілетському (бл. 640-546 рр. До н.е.), який, як і багато давньогрецькі математики класичного періоду, був також філософом. Висловлювалося припущення, що Фалес використовував дедукцію як доказ деяких результатів в геометрії, хоча це сумнівно. Іншим великим греком, з чиїм ім'ям пов'язують розвиток математики, був Піфагор (бл. 585-500 рр. До н.е.). Вважають, що він міг познайомитися з вавілонської і єгипетської математикою під час своїх довгих мандрівок. Піфагор заснував рух, розквіт якого припадає на період ок. 550-300 рр. до н.е. Піфагорійців створили чисту математику в формі теорії чисел і геометрії. Цілі числа вони представляли у вигляді конфігурацій з точок або камінчиків, класифікуючи ці числа відповідно до форми виникають фігур ( "фігурні числа"). Слово "калькуляція" (розрахунок, обчислення) походить із грецького слова, що означає "камінчик". Числа 3, 6, 10 і т.д. піфагорійців називали трикутними, так як відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 9, 16 і т.д. - квадратними, так як відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді квадрата, і т.д. З простих геометричних конфігурацій виникали деякі властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійців виявили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює деякому квадратному числу. Вони відкрили, що якщо (в сучасних позначеннях) n2 - квадратне число, то n2 + 2n +1 = (n + 1) 2. Число, яка дорівнює загальній кількості всіх своїх власних дільників, крім самого цього числа, піфагорійців називали досконалим. Прикладами скоєних чисел можуть служити такі цілі числа, як 6, 28 і 496. Два числа піфагорійців називали дружніми, якщо кожне з чисел дорівнює сумі дільників іншого; наприклад, 220 і 284 - дружні числа (і тут саме число виключається з власних дільників). Для пифагорийцев будь-яке число представляло собою щось більше, ніж кількісну величину. Наприклад, число 2 відповідно до їхньої думки означало відмінність і тому ототожнювалося з думкою. Четвірка представляла справедливість, так як це перше число, яке дорівнює добутку двох однакових множників. Піфагорійців також відкрили, що сума деяких пар квадратних чисел є знову квадратне число. Наприклад, сума 9 і 16 дорівнює 25, а сума 25 і 144 дорівнює 169. Такі трійки чисел, як 3, 4 і 5 або 5, 12 і 13, називаються піфагорових числами. Вони мають геометричну інтерпретацію: якщо два числа з трійки прирівняти довжинах катетів прямокутного трикутника, то третє число дорівнюватиме довжині його гіпотенузи. Така інтерпретація, очевидно, привела піфагорійців усвідомлення загальнішого факту, відомого нині під назвою теореми Піфагора, згідно з якою в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.