Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
Нехай функція 2-х змінних z = f (x. Y) задана і неперервна в замкненій області D⊂xOy. Подвійний інтеграл від цієї функції по області D має вигляд:
Область D⊂xOy називається правильною в напрямку осіOy, якщо будь-яка пряма, паралельна осі Oy перетинає кордон області не більше, ніж в двох точках (за винятком ділянок кордону, паралельних Oy).
Якщо область D - правильна в напрямі осі Oy (рис. 2), то її можна задати системою нерівностей:
В цьому випадку подвійний інтеграл від функції z = f (x. Y) по області D можна обчислити за допомогою дворазового (повторного) інтеграла:
Тут внутрішній інтеграл обчислюється по змінної y в припущенні, що x - постійна (x = const); результатом обчислення внутрішнього інтеграла є деяка функція Ф (x). Потім обчислюється зовнішній інтеграл від Ф (x) по змінній x в постійних межах, в результаті виходить число.
Якщо область D - правильна в напрямі осі oх (рис. 3), то вона задається системою нерівностей:
і тоді подвійний інтеграл зводиться до повторного інтеграла за формулою:
Тут внутрішній інтеграл обчислюється по змінної x в припущенні, що y = const; результатом обчислення внутрішнього інтеграла є деяка функція від y. яка потім інтегрується в постійних межах.
Якщо область D - правильна в обох напрямках. то повторний інтеграл не залежить від порядку інтегрування, і для обчислення подвійного інтеграла можна використовувати будь-який з двох порядків інтегрування:
Якщо область D - неправильна в обох напрямках, то її можна розбити на правильні частини і скористатися властивістю адитивності подвійного інтеграла: