Завдання 1. Знайти межа.
Рішення. В цьому випадку можна за допомогою заміни перетворити так, що будуть тільки цілі ступеня, а для одержані многочленів вже можна шукати коріння і проводити розкладання на множники.
НОК (2,3) = 6. Якщо позначимо. то:
При цьому, якщо. то і теж прагне до 1.
* Такий збіг при заміні змінної буває далеко не завжди, а лише в окремих випадках, а зазвичай треба перерахувати, можливо нова змінна прагне до іншого числа. Наприклад, якщо і. то.
Отже, = = (для зручності зробили, щоб многочлени починалися зі старшою ступеня). далі,
При цьому навіть не потрібно робити зворотний заміну і повертатися до старої змінної.
Тема «1-й чудовий межа».
Завдання 2. Знайти межа.
Рішення. За допомогою перетворень отримаємо в знаменнику таке ж вираження, як під знаком синуса в чисельнику.
Другий межа взагалі не містить невизначеності, а перший це в точності якщо переобозначив.
Завдання 3. Знайти межа.
Завдання 4. Знайти межа.
Спочатку домножимо на поєднане вираз, потім винесли в окремий множник ту частину, де немає невизначеності. В кінці домножимо на 6 в знаменнику і чисельнику, щоб в знаменнику утворилося рівно таке ж вираження, як під знаком синуса, тобто.
Завдання 5. Знайти межа.
Рішення. Це завдання можна вирішити як із застосуванням тригонометричної формули, так і методом Лопиталя.
Спосіб 1. Згадаймо формулу. виходить
Спосіб 2. = = = 2.
Завдання 6. Знайти межа.
Рішення. Щоб усунути різницю, як завжди, домножимо і поділимо на поєднане.
це ми застосували формулу зниження ступеня, а ту частину, яка прагне до 0, вирахували відразу, цей коефіцієнт тепер так і буде залишатися до відповіді. Тепер замінимо кожну з нескінченно-малих на еквівалентну.
Зауваження. Починаючи з того місця, де ми отримали можна було зробити і іншими способами.
Спосіб 2. За правилом Лопіталя. = = =.
Спосіб 3. домножимо на поєднане.
Спосіб 3-а. Уявити квадрат синуса в знаменнику у вигляді і тоді виходить розбиття на 2 сполучених: = = = =.
Завдання 7. Знайти межа.
Зауваження. Чому вираз ми тут не домножаем на поєднане, а робили методом Лопиталя. Тоді вийшло б =. тобто в таких виразах, на відміну від иррациональностей, формулу скороченого множення і структуру застосовувати марно, тому що це дає точно таке ж вираження, що прагне до.
Завдання 8. Знайти межа.
Спосіб 1. За допомогою заміни на еквівалентну нескінченно-малу.
Можна виділити 1 під знаком логарифма, отримати вираз типу. Потім скористатися еквівалентність
Спосіб 2. За правилом Лопіталя = = 6.
Завдання 9. Знайти межа.
Рішення. Методом Лопиталя = =. Але знову вийшла невизначеність. Продифференцируем ще раз = =