Фішер був відомий як шаховий вундеркінд і шаховий геній. Коефіцієнт інтелекту Фішера - 186.
З 1972 по 1975 роки Роберт Фішер був чемпіоном світу з шахів. У 1972 році Роберт Фішер виграв матч на першість світу у Бориса Спаського. Той матч проходив в Рейкявіке (Ісландія). Матч мав величезний резонанс у всьому світі. У роки холодної війни він розглядався як протистояння США і СРСР. Фішер став першим, і поки єдиним, американським чемпіоном світу з шахів. Фішер відібрав звання чемпіона світу з шахів у радянських шахістів, які володіли ним з 1948 року.
Матч 1972 року Спаський - Фішер надихнув і Володимира Висоцького до написання відомої пісні «Честь шахової корони», в якій є такі слова: «Але врахуй, що Фішер дуже яскравий, - / Навіть спить з дошкою - сила в третьому, ...».
Однак, ставши чемпіоном світу, Фішер перестав грати в шахи на вищому рівні. У 1975 році Фішер відмовився захищати свій титул в матчі проти Анатолія Карпова. і був позбавлений звання чемпіон світу. Свою відмову Фішер обгрунтовував тим, що міжнародна федерація шахів не виконала його умови проведення матчу.
Відомий Фішер також своїми екстравагантними вчинками. Ходили чутки, що Фішер дозволив видалити пломби зі своїх зубів, так як був переконаний, що радянські таємні служби, за допомогою мікро передавачів, надають на нього вплив через амальгаму зубних пломб.
Фішер усамітнився в Каліфорнії і протягом двадцяти років жив як фантом. Ніхто не міг спонукати його повернутися в шахи. Фішер мав фінансові проблеми, але він відмовлявся від усіх пропозицій, які обіцяли йому мільйонні гонорари.
Властимир Горт. Ми всі повинні запалити свічки в пам'ять про Фишере, це він домігся того, що шахісти мають можливість отримувати більш високі призові гроші.
Михайло Таль. Фішер - найбільший геній, який спустився з шахового неба.
Марк Тайманов. Це жахливе відчуття, ніби я граю проти машини, яка не помиляється і трощить мій опір.
Юрій Балашов. Здавалося, що Фішер ніколи не має поганих фігур. Він їх розмінює, і погані фігури залишаються у противника.
Олексій Суєтін. О Боже! Фішер грає так просто!