Побудова перетину многогранника площиною
Перетину многогранника площиною використовуються при вирішенні багатьох стереометричних задач. Мною розібрані деякі способи побудови перетинів, а також завдання, пов'язані з їх побудовою. Розглянуто перетину площинами, що проходять через дану точку і пряму, через три дані точки, а також перетину, коли січна площина задана однією з умов.
На малюнку показано побудову перетину тетраедра площиною, що проходить через точки M, N, P на ребрах тетраедра. Точки M і N задані так, що прямі MN і AC не паралельні. Відрізки MN і AP є сторонами перетину. Точка P - загальна для площин MNP і ABC. Другу загальну точку знаходимо в перетині прямих MN і AC, S = MNAC. Пряма SP - лінія перетину площин MNP і ABC. Перетин цієї прямої з ребром AB дає вершину Q перетину, Q = SPAB. Перетин - чотирикутник MNPQ. Площина проходить через три дані точки
Рішення: Позначимо січну площину. відрізки AD1 і AM належать і площини і гранях куба, тому є сторонами перетину. Побудуємо сторону перетину в межі BB1C1C. Площині BB1C1C і AA1D1D паралельні, тому лінія перетину площин і BB1C1C паралельна прямій AD1. Оскільки прямі BC1 і AD1 паралельні, ця лінія перетину паралельна і прямій BC1. Проводимо через точку M в площині BB1C1C пряму, паралельну прямій BC1, її перетин з ребром B1C1 дає вершину перетину. Перетин - трапеція AMND1, MN|AD1. Знайдемо довжини сторін цієї трапеції. Маємо AD1 =. відрізок MN - середня лінія в трикутнику BB1C1, тому MN = BC1 =. У прямокутних трикутниках ABM і D1C1N (AB = C1D1 = a, BM = NC1 =) знаходимо AM = D1N =. Значить, трапеція AMND1 рівнобедрена. Знайдемо її висоту. Опускаємо перпендикуляри MP і NQ на підставу AD1, отримуємо PQ = MN =. D1Q = PA = (D1A-QP) =. У прямокутному трикутнику D1QN (D1N =. D1Q =) знаходимо NQ =. Визначаємо площу перерізу S = (MN + D1A) * NQ = a2. Відповідь: a2 Дано: Довжина ребра куба дорівнює a. Знайти площу перерізу проведеного через діагональ AD1 грані AA1D1D і середину M ребра BB1. Площина проходить через дану точку і пряму
Рішення: Побудова засноване на наступній теоремі: Якщо площина проходить через пряму, паралельну іншій площині і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій. Позначимо площину перетину. Площина ACD має з площиною спільну точку M і містить пряму AC, паралельну площині. Отже, лінія перетину цих площин проходить через точку M паралельно прямій AC. Відповідно до цього побудована сторона MS1 перетину, MS1|AC. Провівши пряму S1N, знайдемо другу сторону перетину - S1S2. На малюнку точка N дана так, що точка S2 належить ребру AB. Площина ABC також містить пряму AC, паралельну площині перетину. Тому сторона перетину S2S3 проведена паралельно ребру AC. Відрізок S3M - четверта сторона перетину. Перетин MS1S2S3 - трапеція (MS1|AC|S2S3). Дано: На малюнку показано побудову перетину тетраедра площиною, паралельної ребру AC і проходить через точку M ребра CD і точку N в межі ABD. Площина проходить через дві точки паралельно ребру (прямий).
Побудова перетинів багатогранника площиною, заданої точкою і умовою паралельності або перпендикулярності до вказаних прямим і площинах.
Рішення: На ребрі AB піраміди SABCD відкладаємо відрізок BM = AB. Через точку M в межі ASB проводимо MKAB (точка К лежить на ребрі, MK|SF, де SF - апофема піраміди), а в підставі ABCD проводимо MPAB, де точка P лежить на ребрі DC (MP|FO). Площині SFO і KMP паралельні між собою і перпендикулярні до AB, отже, перпендикуляри до основи ABCD піраміди. Так як BC|MP, то пряма BC паралельна січній площині KMP. Тому грань BSC, маючи з січною площиною спільну точку K, перетинається з нею по прямій KL|BC - по теоремі, зворотної теоремі про паралельність прямої і площини. Шукане перетин трапеція MKLP. Нехай N- точка перетину діагоналі BD підстави піраміди і відрізка MP. Але KN|SO як лінії перетину паралельних площин SFO і KMP третьої площиною DSB. Оскільки SO перпендикулярна до площини основи піраміди, то і відрізок KN перпендикулярний до цієї площини. Отже, KNMP, відрізок KM - висота трапеції MKLP. Дано: На ребрі AB правильної чотирикутної піраміди SABCD дана точка M, BM = AB. Через точку M проведена січна площина перпендикулярно до прямої AB. Побудувати переріз і обчислити його площу, якщо сторона основи піраміди дорівнює a, а висота піраміди H. 1. Площина проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
Рішення: Посилаючись на згадану вище теорему, послідовно будуємо лінії перетину січної площини з площинами підстави ABC, DSB і ASC. Ці побудови дають нам всі шукані вершини перетину. З ходу побудови слід, що N - середина AB, точка Q - середина SO, отже, точки K і P - середини бічних ребер SA і SC піраміди відповідно. Звідси: KN|SB|PM. Крім того QF|KN|PM. Але QFNM, в чому легко переконатися застосувавши теорему про три перпендикуляри. Отже, перетин складено з прямокутника KNMP і рівнобедреного трикутника KLP, що мають загальну підставу KP. Дано: Побудувати переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через середину M боку BC підстави паралельно діагоналі AC підстави і бічного ребра SB. Обчислити площу перетину, якщо довжина сторони основи піраміди a, а бічне ребро нахилене до площини основи під кутом. 2. Площина проходить через дану точку і паралельна двом пересічним або перехресних прямих. Приклад 1.
Рішення: січні площині позначимо. Лінія перетину цієї площини з площиною ABD паралельна прямій AD (AD|). Проводимо MN|AD. Лінії перетину площин BCA і BCD з площиною паралельні прямій BC (BC|). Будуємо MQ|BC і NP|BC. Четверта сторона перетину PQ паралельна ребру AD. Перетин - паралелограм MNPQ (MN|AD|PQ, NP|BC|MQ). Висловимо довжини сторін паралелограма MNPQ через довжини ребер AD і BC. З подоби трикутників AMQ і ABC маємо MQ: BC = AN: AB =. звідки MQ = * BC. Тепер знаходимо BM = AB - AM = (1) * AB і з подібності трикутників BMN і BAD отримуємо MN: AD = BM: BA = 1. тобто MN = (1) * AD.подставляя в рівність MN = MQ отримуємо вирази, будемо мати (1) * AD = * BC, звідки = = Відповідь: перетин буде ромбом при =. Дано: На ребрі AB тетраедра розташована точка M так, що AM: AB =. 0<<1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и параллельно ребрам AD и BC. При каком значении это сечение будет ромбом, если AD:BC = m? 2. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым. Пример 2.
Рішення: Нехай у ромбі ABCD BD Рішення: Нехай січна площина паралельна грані ASB піраміди SABC. Після проведення через центр O підстави піраміди прямий MN|AB сліди січної площини в бічних гранях можна будувати по-різному: або провести OK|SD (SD - апофема піраміди) і з'єднати точку K з точками M і N, або провести NK|BS і MK|AS (прямі MK і NK перетинаються в точці K на ребрі SC). Можна, провівши NK|BS і отримавши точку K, з'єднати її з точкою M. Дано: Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, що проходить через центр підстави паралельно бічній грані піраміди. 4. Площина проходить через дану точку і паралельна даній площині. Рішення: Медіана бічній грані правильної піраміди не перпендикулярна до площини підстави, тому умови завдання визначають єдину січну площину. Якщо в умові завдання йдеться про перпендикулярність площини до площини, потрібно постаратися зі зручної для нас точки площині провести перпендикуляр до площини. В даному випадку найзручніше з кінця K медіани AK бічній грані ASB опустити перпендикуляр на площину підстави. Оскільки точка K лежить в площині DSB, перпендикулярної до площини підстави, підстава P цього перпендикуляра буде лежати на прямій BD перетину перпендикулярних площин DSB і ABC. Залишається в площині основи піраміди провести пряму AP і знайти точку M її перетину прямої BC. В отриманому трикутнику AKM побудований відрізок KP є висотою. Таким чином, в цьому випадку в ході побудови не тільки з'ясована форма, а й побудована висота трикутника AKM, необхідна для визначення його площі. Дано: Побудувати переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через медіану AK бічній грані ASB і перпендикулярно до площини підстави. 5. Площина проходить через дану пряму і перпендикулярна до даної площини (НЕ перпендикулярної до даної прямої). Рішення: Нехай січна площина проходить через середину M бічного ребра SA даної піраміди SABCDEF паралельно стороні підстави AB. Як і в попередній задачі, перш за все опустимо з точки M перпендикуляр MP на площину Підстави піраміди. Підстава P цього перпендикуляра виявиться на OA. Потім через точку P (середину OA) проведемо KL|AB. Точки K і L - середини сторін AF і BC підстави піраміди. Через M проводимо MN|AB (це випливає з умови паралельності січною площині прямої AB). У перетині отримана рівнобедрена трапеція KMNL, відрізок MP - її висота. Дано: Побудувати переріз правильної шестикутної піраміди площиною, що проходить через середину бічного ребра паралельно стороні підстави і перпендикулярно до площини основи піраміди. 6. Площина проходить через дану точку, перпендикулярна до даної площини і паралельна даній прямій. Рішення: Рішення таких завдань починаємо з побудови двогранного кута. Це полегшує подальші побудови і встановлення форми перетину. Нехай в даній правильної шестикутної призми O - центр, FC - велика діагональ підстави. Проводимо OKDE (K- середина DE), KK1|DD1. Площина O1OK перпендикулярна до площини снования призми і до діагоналі FC підстави (так як FCOK і FCOO1). Залишається в це площині провести промінь OL під таким кутом до OK, щоб отримати лінійний кут LOK двогранного кута між січною площиною і площиною основи призми. Точка L належить січної площини і площини грані DD1E1E. Ці площини перетинаються по прямій MN, що проходить через L паралельно прямий DE. Трапеція CNMF - шукане перетин. З ходу побудови випливає, що ця трапеція - равнобокая, відрізок LO служить її висотою. Дано: Побудувати переріз правильної шестикутної призми площиною, що проходить через велику діагональ основи під кутом до площини підстави. 7. Площина проходить через дану пряму під таким кутом до даної площини.