№ 1. Двоє робітників виконують деяку роботу. Після 45 хвилин спільної роботи перший робочий був переведений на іншу роботу, і другий робочий закінчив решту роботи за 2 години 15 хвилин. За якийсь час міг би виконати роботу кожен робочий окремо, якщо відомо, що другого для цього знадобиться на 1 годину більше, ніж першому.
Нехай перший робочий виконає всю роботу за х годин, а другий всю роботу - за y годин. За умовою х = у-1. це рівняння (1).
Нехай обсяг всієї роботи дорівнює 1. Тоді 1 / х - продуктивність праці першого робочого (кількість роботи, виконаної за 1 годину), 1 / у - продуктивність праці другого робочого.
Так як вони працювали 45 хв. = 3/4 години спільно, то (3/4) (1 / x + 1 / y) - обсяг роботи, виконаної робочими за 45 хвилин.
Так як другий робочий працював один 2 години 15 хвилин = 2¼ години = 9/4 години, то (9/4) * (1 / y) - обсяг роботи, виконаної другим робочим за 2 години 15 хвилин.
Таким чином, ми отримали систему двох рівнянь: (1) і (2).
Вирішимо її, для цього вираз для х з рівняння (1) підставимо в (2)
і спростимо. Отримаємо 3 (2y - 1) +9 (y - 1) = 4y (y-1) -> 4у 2 -19у + 12 = 0;
З двох значень для у виберемо те, що підходить за змістом завдання в1 = 45 хв. але 45 хв. робітники працювали разом, а потім другий робочий працював ще окремо, тому y1 = 3/4 не підходить за змістом завдання. Для отриманого у 2 = 4 знайдемо з першого рівняння початкової системи значення х
Відповідь: перший робочий виконає роботу за 3 години, другий - за 4 години.
Зауваження: це завдання можна було вирішити, не вводячи другу змінну у, а висловити час роботи другого робочого через х, тоді потрібно було скласти одне рівняння і вирішити його.
Завдання на сплави.
№ 1. Є шматок сплаву міді з оловом загальною масою 12 кг, що містить 45% міді. Скільки чистого олова треба додати до цього шматка сплаву, щоб вийшов новий сплав містив 40% міді?
m можна обчислити за допомогою пропорції:
Нехай x кг олова треба додати до сплаву. Тоді 12 + х - маса нового сплаву. І так як маса міді в первісному сплаві дорівнює 5,4 кг. то маємо пропорцію:
Складемо рівняння: 40 (12 + х) = 100 · 5,4
вирішуючи його, отримуємо х = 1,5 кг.
Відповідь: потрібно додати 1,5 кг чистого олова.
Завдання на рух.
№ 2.Пароход пройшов 4 км проти течії річки, а потім пройшов ще 33 км за течією, витративши на весь шлях одну годину. Знайдіть власну швидкість пароплава, якщо швидкість течії річки дорівнює 6,5 км / год.
Рішення. Нехай х км / год - власна швидкість пароплава. Тоді (х + 6,5) км / год - швидкість пароплава за течією, а (х - 6,5) км / год - швидкість пароплава проти течії.
Так як проти течії пароплав пройшов 4 км зі швидкістю (х - 6,5) км / год, то 4 / (х - 6,5) - час руху пароплава проти течії.
А так як за течією пароплав пройшов 33 км зі швидкістю (х + 6,5) км / год. то 33 / (х + 6,5) - час руху пароплава за течією.
За умовою 4 / (х - 6,5) + 33 / (х + 6,5) = 1.
Вирішуючи це рівняння, отримаємо х 2 - 37х + 146,25 = 0; х1 = 4,5 км / год і х2 = 32,5 км / год.
Здійснимо відбір отриманих рішень. Через х ми позначили власну швидкість пароплава, при цьому швидкість течії річки 6,5 км / год. тому х1 = 4,5 км / год не підходить за змістом завдання (при такій швидкості пароплав виплив би проти течії). Тому, власна швидкість пароплава дорівнює 32,5 км / год. Відповідь: v = 32,5 км / год.
Умова взято з тренувальних завдань, схвалених ФІПІ, так що ні відняти, ні додати ні слова не можу. У відповіді - 2.
Я це завдання зрозуміла так:
За умовою завдання мотоцикліст виїхав через деякий час після початку руху автомобіля. Нехай мотоцикліст виїхав, коли автомобіль знаходився в точці А1. Через деякий час мотоцикліст наздогнав автомобіль в точці А2 і повернув назад, а автомобіль продовжував рухатися вперед. Автомобіль був в точці Y, коли мотоцикліст на зворотному шляху досяг точку "А". За умовою завдання АY / AA1 = 3
AA1 + A1A2 + A2Y = 3 * AA1 -> A1A2 + A2Y = 2AA1 (**)
З одного боку, мотоцикліст і автомобіль були однаковий час в дорозі з моменту виїзду мотоцикліста і до моменту зустрічі його з автомобілем в точці A2. значить,
З іншого боку, мотоцикліст і автомобіль були однаковий час в дорозі з моменту їх зустрічі в точці A2 і до моменту, коли мотоцикліст опинився в точці А, а автомобіль - в точці Y. (Значить, і шлях до і після зустрічі був однаковий иу мотоцикліста і у автомобіля, тобто
Звідси отримуємо, що A1A2 = A2Y
Повертаємося до співвідношення (**):
A1A2 + A2Y = 2AA1 -> 2А1А2 = 2АА1 -> A1A2 = AA1 = A2Y = N
A1A2 + A2Y = A2Y + A2Y = 2 * A2Y = 2 * AA1, отже, A2Y = AA1
A1A2 + A2Y = A1A2 + A1A2 = 2 * A1A2 = 2 * AA1, отже, A1A2 = AA1