Первісна та невизначений інтеграл

Первісною для заданої функції на заданому проміжку називається така функція, що маємо місце рівність

Операція знаходження первісної функції називається інтегруванням.

Будь-яка безперервна на відрізку функція має на цьому відрізку первісну функцію.

Якщо на деякому проміжку функція дорівнює нулю:, то первісна цієї функції на даному проміжку є константою:

Константа інтегрування

Якщо на деякому проміжку функція є первісною функції, то на цьому проміжку первісною для цієї функції буде і функція, де - довільна постійна.

Доведення. Так як - первісна функції, то за визначенням маємо, що

Розглянемо функцію і покажемо, що вона також є первісною для функції. Знайдемо похідну:

Тобто, а це означає, що і функція є первісною для функції.

Що й потрібно було довести.

Будь-які дві первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються на константу.

Правила знаходження первісних

1. Якщо - первісна для функції, а - первісна функції, то - первісна функції.
2. Якщо - первісна для функції, а - деяке число, то є первісною для функції.
3. Якщо є первісною функції, а й - деякі числа, то функція - первісна для функції.

Безліч всіх первісних деякої функції називається невизначеним інтегралом і позначається

Тут - знак інтеграла. - підінтегральний вираз, - підінтегральна функція, - змінна інтегрування.