Окрема глава присвячена типовим прийомам рішення тригонометричних задач, які пропонуються на вступних іспитах до вищих навчальних закладів.
Книга буде незамінним помічником для школярів старших класів, викладачів, батьків і всіх, хто цікавиться математикою.
Що таке тригонометрія? Нудні і нікому не потрібні формули - скажуть майже всі старшокласники. Проте, ми хочемо вас в цьому переконати.
Наші визначення рівносильні визначень зі шкільних підручників, але не завжди дослівно з ними збігаються.
Не треба прагнути перерішати всі завдання з книги (ми свідомо помістили їх з запасом), але скільки-то завдань після кожного параграфа повирішувати варто. Якщо завдання до параграфу зовсім не виходять, значить, щось ви не засвоїли, і є сенс перечитати цей параграф.
Більш важкі завдання відзначені зірочкою, більш складний текст надрукований дрібним шрифтом. При першому читанні все це можна пропустити.
Тепер більш детально про зміст книги. У перших двох розділах мова йде про початкові поняттях тригонометрії (точніше кажучи, про ту її частини, в якій не беруть участі формули додавання). Третя глава ( «Рішення трикутників») присвячена застосуванням тригонометрії до планіметрії. (Майте на увазі, що рішення трикутників - не єдиний розділ геометрії, не слід думати, що, пропрацювавши лише нашу книжку, ви вже навчитеся вирішувати геометричні завдання.)
Четверта глава присвячена формулами додавання і їх наслідків. Це - центральна частина тригонометрії (і книги), і саме тут зосереджені основні тригонометричні формули. Ми сподіваємося, що після вивчення цієї глави ви зрозумієте, звідки вони беруться, і навчитеся в них орієнтуватися. Ми починаємо цю главу з параграфів, в яких розказано про вектори на площині, а самі тригонометричні формули ілюструємо прикладами з фізики.
Тригонометрія за традицією займає велике місце в матеріалах конкурсних іспитів до вузів; щоб навчитися впевнено
вирішувати екзаменаційні завдання з тригонометрії, потрібна тренування. У п'ятому розділі ми описуємо типові прийоми рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей. Багато із завдань до цієї чолі взяті з матеріалів прийомних іспитів до Московського державного університету та провідні вузи.
Заключна шоста глава, навпаки, присвячена темі, яка не входить в програму вступних іспитів, але тісно пов'язаної з тригонометрією - комплексним числам. Ми сподіваємося, що наші читачі отримають задоволення від знайомства з цим красивим і важливим розділом математики.
При написанні п'ятого розділу нам допомогли бесіди з Ж. М. Раббота; частина завдань до цієї главі ми запозичили з відомого «Збірника завдань з математики для конкурсних іспитів до вузів» під редакцією М. І. Сканаві. Багато задач по планіметрії взяті із збірок І. Ф. Шаригіна. Обговорення прикладів з фізики і комплексних чисел багатьом зобов'язана заслужено популярним «Фейнмановские лекцій з фізики».
Робота над цією книгою ніколи не була б завершена, якби ми не відчували постійної уваги і підтримки і не користувалися допомогою багатьох і багатьох людей. Користуємося нагодою висловити їм усім глибоку подяку. Особливо тепло ми хочемо подякувати Н. Б. Васильєва, Ж. М. Раббота і А. Шеня, які витратили багато сил і часу на поліпшення рукописи цієї допомоги.
Передмова до другого і третього видань
Друге видання цього посібника готувалося без участі І. М. Гельфанда і А. Л. Тоом, тому відмінності від першого видання невеликі (найістотніше - інше виклад дистрибутивности скалярного твори в § 18). Само собою зрозуміло, що вся відповідальність за ці зміни лежить тільки на мені. У третьому виданні виправлений ряд помилок і додані вказівки і рішення до деяких задач.
шення довжини підйому до довжини шляху (відповідно відношення довжини дуги до радіуса) 1. Ці відносини від довжини шляху вже не залежать.
Ось формальний доказ того, що відношення довжини підйому до довжини шляху не залежить від цієї довжини. Нехай людина пройшла не весь шлях, а дійшов тільки до точки B 0 (рис. 1.2). Тоді крутизна підйому на відрізку AB 0 дорівнює B 0 C 0 / A 0 B 0. а на відрізку AB дорівнює BC / AB.
Однак B 0 C 0 k BC як два перпендіку-
ляра до одній прямій, так що AC 0 B =
= ACB = 90 ◦. AB 0 C = ABC. стало
бути, трикутники ABC і AB 0 C 0 подоб-
ни за двома кутами, і BC / AB = B 0 C 0 / AB 0.
Таким чином, відношення висоти под'-
ема до довжини шляху не залежить від довжини
шляху. Довести, що відношення довжини ду
ги до радіусу не залежить від радіуса, також
можна, але для цього треба формально визначити, що таке довжина дуги.
У цій книжці ми цим займатися не будемо.
Визначення. Синусом гострого кута в прямокутному трикутнику називається відношення катета цього трикутника, що лежить проти кута, до гіпотенузи трикутника (рис. 1.3).
Від вибору прямокутного трикутника, що містить кут, це відношення не залежить.
1 Фізик пояснив би це так: висота підйому має розмірність довжини, а крутизна - безрозмірне число.
Мал. 1.3. sin α = BC / AB.
Мал. 1.4. Радіанна міра кута AOB - відношення довжини дуги AB до радіусу AO.
1.2. Вимірювання кутів
Друга з введених нами характеристик крутизни називається радіанної мірою кута.
Визначення. Радіанної мірою кута називається відношення довжини дуги кола, укладеної між сторонами кута і з центром у вершині кута, до радіусу цього кола (рис. 1.4).
Від радіусу кола це відношення не залежить.
Наприклад, коли говорять, що «Радіанна міра кута дорівнює
1/2 », або« величина кута дорівнює 1/2 ра-
Обидві введені нами характеристики крутизни (синус і Радіанна міра кута) мають ту перевагу перед звичним виміром кутів в градусах, що є природними; про вимірювання кутів в градусах цього не скажеш: як би ви стали пояснювати представнику позаземної цивілізації, чому один градус становить саме одну дев'яносту прямого кута? До речі, під час Великої французької революції, коли намагалися змінити все, включаючи календар і назви гральних карт, була запропонована і нова одиниця вимірювання кутів - одна сота прямого кута, що нітрохи не гірше і не краще однієї дев'яностої.
З'ясуємо, як пов'язані між собою Радіанна і градусна міри кута. Як ми вже знаємо, величина прямого кута дорівнює π 2
радіан. Так як кут 1 ◦ в 90 разів менше прямого кута, то і його Радіанна міра в 90 разів менше радіанної заходи прямого кута, тобто дорівнює π 2. 90 = π / 180 ≈ 0,017. Кут в k градусів має
міру (π / 180) k радіан. Щоб дізнатися, скільки градусів містить кут в 1 радіан, треба знайти таке k, що (π / 180) k = 1. Стало бути, в одному радіанах міститься 180 / π ≈ 57,29 ◦.
Завдання 1.1. Заповніть порожні місця в таблиці, після чого вивчіть таблицю напам'ять:
градуси 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 150 ◦ 180 ◦ 360 ◦
Завдання 1.2. Для кожного з кутів 10 ◦. 30 ◦. 60 ◦ знайдіть наближені значення синуса і радіанної заходи (з двома значущими цифрами). На скільки відсотків відрізняються синус і Радіанна міра для цих кутів?
Завдання 1.3. Нехай Радіанна міра гострого кута дорівнює α. Доведіть нерівність: sin α <α (словами: синус острого угла меньше его радианной меры).
Вказівка. Див. Мал. 1.6.