373. Чотири монети. Візьміть 4 однакові монети і розташуйте їх на столі без допомоги іншої монети або інших допоміжних засобів таким чином, щоб п'яту монету можна було точно підігнати до чотирьох даними, не зрушуючи останніх (на малюнку заштрихований гурток зображує п'яту монету).
Поклавшись лише на власний окомір, ви, швидше за все, зазнаєте невдачі. У той же час умова можна виконати з абсолютною точністю. Але як?
374. Шість монет. Покладіть 6 однакових монет на стіл, а потім розмістіть їх, як показано на малюнку білими кружками, так, щоб, опустивши сьому монету (чорний кружок) в центр, ви привели б її тим самим в зіткнення з усіма шістьма монетами. Завдання потрібно виконати абсолютно точно, а не «на око». Піднімати яку-небудь монету зі столу (інакше взагалі не вийшло б ніякої головоломки) або вчиняти будь-які вимірювання не дозволяється. У вашому розпорядженні тільки шість монет.
Комбінаторні і топологічні завдання
375. Неправильний магічний квадрат. На вміщеному тут малюнку зображений правильний магічний квадрат, складений з чисел від 1 до 16 включно. Сума чисел, що стоять в будь-якому рядку, в будь-якому стовпці і на будь-який з двох великих діагоналей, дорівнює 34. Припустимо тепер, що вам заборонено використовувати числа 2 і 15, але замість цього ви можете повторити будь-які два числа, вже використані раніше.
Як слід розташувати числа, щоб в новому квадраті їх суми у всіх рядках, стовпцях і на діагоналях і раніше дорівнювали 34? Успіх залежить від того, якими числами ви заміните 2 і 15.
376. Непорозуміння з магічним квадратом. Перед вами магічний квадрат п'ятого порядку. Я виявив, що переважна більшість людей, не знайомих глибоко з теорією магічних квадратів, переконані, ніби в квадратах п'ятого порядку в центрі неодмінно має стояти число 13. Один читач, протягом багатьох років бавиться цим квадратом, був просто вражений, коли дізнався від мене , що в центрі такого квадрата може стояти будь-яке число від 1 до 25.
Доведіть, що це дійсно так. Спробуйте, наприклад, скласти магічний квадрат п'ятого порядку, в центрі якого стояла б 1.
377. Різницеві квадрати. Чи можете ви розташувати 9 цифр у вигляді квадрата таким чином, щоб в будь-якому рядку, в будь-якому стовпці і на кожній з великих діагоналей різниці між сумою двох цифр і третьої цифрою збігалися між собою? На нашому малюнку наведено квадрат, в якому всі рядки і стовпці задовольняють необхідному умові - різниця в них дорівнює 3 (наприклад, 4 + 2 - 3, 1 + 9 - 7, 6 + 5 - 8 і т. Д.), А ось діагоналі «підкачали», оскільки різниці 8 - (4 + 1) і 6 - (1 + 2) отримані забороненим способом: не з однієї цифри повинна відніматися сума двох інших, а з суми двох - одна.
Скільки всього існує рішень?
378. Так чи просто? Перед вами простий магічний квадрат, у якого суми чисел, що стоять в будь-якому рядку, в будь-якому стовпці і на головних діагоналях, рівні 72. Головоломка полягає в тому, щоб перетворити його в мультиплікативний магічний квадрат, у якого твору чисел, що стоять в будь-якому рядку, в будь-якому стовпці або на будь-який з великих діагоналей, збігалися б між собою. Чи не дозволяється ні міняти числа місцями, ні додавати до них що-небудь, ні взагалі користуватися будь-якими арифметичними знаками! Можна лише пересувати цифри всередині однієї клітини. Так, замість 27 дозволяється брати 72.
Якщо вам вдасться підібрати «ключ» до вирішення, то завдання виявиться надзвичайно простий. В іншому випадку вирішити головоломку майже неможливо.
Заповніть порожні квадрати (див. Малюнок) цифрами (в кожному випадку різними, щоб ніякі дві клітини не містили однаковою цифри) так, щоб сума чисел, що стоять як можна в більшій кількості стовпців, рядків і на діагоналях, дорівнювала 15. За розгадку «секрету »фокуса був призначений великий приз, але отримати правильне рішення не вдалося нікому.
Може бути, читач розгадає, в чому тут справа?
380. Магічний квадрат з чотирьох цифр. Оскільки даний квадрат складений з одного і того ж числа 1234, природно, що суми чисел, що стоять у всіх рядках, стовпцях і на діагоналях, рівні між собою. Суть головоломки в тому, щоб скласти і розмістити 9 різних чотиризначних чисел (складених з тих же самих чотирьох цифр) так, щоб вони теж утворювали правильний магічний квадрат. Пам'ятайте, що всі разом числа повинні містити по дев'ять екземплярів кожної з цифр 1, 2, 3, 4 і що це повинні бути справжні чотиризначні числа без будь-яких дробів; ніякі трюки тут не допускаються.
381. Прогресуючі квадрати. Перед вами магічний квадрат, постійна якого, тобто сума чисел у кожному рядку, в кожному стовпці і на кожній з двох діагоналей, дорівнює 287. Якщо ми видалимо числа, розташовані по краях, то залишиться другий магічний квадрат, постійна якого дорівнює 205. Якщо ми знову видалимо крайні числа, то вийде квадрат з постійною 123. Заповніть тепер порожні клітини числами від 1 до 83 включно так, щоб вийшов магічний квадрат з постійною 369 на будь-який з 20 його прямих.
382. Умовний магічний квадрат. Хоча щодо простого побудови магічних квадратів добавить нечего, а по самому предмету існує досить велика, правда, розрізнена, література, невеликі варіації з деякими новими умовами завжди викликають інтерес. Ось один важкий приклад.
Чи можна побудувати магічний квадрат, у якого суми чисел, що стоять в будь-якому рядку, в будь-якому стовпці і на кожній з двох великих діагоналей, були б однакові, з чисел від 1 до 25 включно, якщо розміщувати в заштрихованих клітинах тільки непарні числа, а в інших парні? Існує досить багато рішень цього завдання. Чи не змогли б ви знайти хоча б одне з них?
383. П'ятикутна зірка. Головоломки з зірками мають своєрідною притягальну силу. Я приведу приклад такої головоломки з простою п'ятикутною зіркою.
У кожен гурток зображеної тут п'ятикутної зірки потрібно помістити різні числа таким чином, щоб сума будь-яких чотирьох чисел, що стоять на одній прямій, дорівнювала 24. Рішення з десятьма послідовними числами не існує, однак ви можете використовувати будь-які цілі числа, які забажаєте.
384. Шестикутна зірка. У попередній задачі ми розглянули випадок з п'ятикутною зіркою. Виявляється, з шестикутної зіркою справи ще цікавіше. У цьому випадку (див. Малюнок) ми завжди можемо використовувати 12 послідовних чисел, від 1 до 12, а сума чотирьох чисел на кожній прямій завжди дорівнюватиме 26. Сума чисел, що стоять в шести вершинах, може дорівнювати будь-якого числа від 24 до 54 включно , крім 28 і 50. У нашому прикладі ця сума дорівнює 24. Якщо замість кожного з чисел ви підставите різниця між ним і 13, то отримаєте інше рішення, додаткове до даного, з сумою вершин, що дорівнює 54 (78 мінус 24). Дві додаткові суми в сукупності завжди дають 78.