називають канонічними рівняннями прямої. Сенс цього рівняння полягає в тому, що з вигляду цього рівняння ми можемо визначити точку, через яку проходить пряма і спрямовує вектор прямої. Після цього можна записати параметричні рівняння прямої і від них перейти до загальних рівнянь прямої. Нехай, наприклад, канонічні рівняння прямої задані в умовному вигляді
За рівнянням знаходимо, що точка, через яку проходить пряма, є, а спрямовує вектор дорівнює. Отже, параметричні рівняння прямої мають вигляд
Тоді загальними рівняннями прямої буде система рівнянь
При цьому може приймати будь-які значення. Сама пряма в цьому випадку паралельна осі.
§ 3. Перехід від одного виду рівняння прямої до іншого виду
Як показано вище, рівняння одній і тій самій прямій можнозапісать принаймні в трьох видах: загальні рівняння прямої, параметричні рівняння прямої і канонічні рівняння прямої. Розглянемо питання про перехід від рівнянь прямої одного виду до рівнянь прямої в іншому вигляді.
По-перше зауважимо, що якщо задані рівняння прямої в параметричній формі, то тим самим задані точка, через яку проходить пряма і спрямовує вектор прямої. Тому не складає труднощів записати рівняння прямої в канонічній формі.
Дано рівняння прямої в параметричній формі
Записати канонічні рівняння прямої.
Пряма проходить через точку і має направляючий вектор. Отже, канонічні рівняння прямої мають вигляд
Аналогічно вирішується завдання про перехід від канонічних рівнянь прямої до параметричних рівнянь прямої.
Перехід від канонічних рівнянь прямої до загальних рівнянь прямої розглядається нижче на прикладі.
Дано канонічні рівняння прямої
Записати загальні рівняння прямої.
Запишемо канонічні рівняння прямої у вигляді системи двох рівнянь
Позбавляючись від знаменників шляхом множення обох частин першого рівняння на 6, а другого рівняння на 4, отримаємо систему
Отримана система рівнянь і є загальні рівняння прямої.
Розглянемо перехід від загальних рівнянь прямої до параметричних і канонічним рівнянням прямої. Щоб записати канонічні чи параметричні рівняння прямої, треба знати точку, через яку проходить пряма, і спрямовує вектор прямої. Якщо визначити координати двох точок і, що лежать на прямій, то в якості направляючого вектора м можна взяти вектор. Координати двох точок, що лежать на прямій, можна отримати як рішення системи рівнянь, що визначають загальні рівняння прямої. В якості точки, через яку проходить пряма, можна взяти будь-яку з точок і. Проілюструємо сказане вище на прикладі.
Дано загальні рівняння прямої
Записати параметричні і канонічні рівняння прямої.
Знайдемо координати двох точок, що лежать на прямій, як вирішення цієї системи рівнянь. Вважаючи, отримаємо систему рівнянь
Вирішуючи цю систему, знаходимо. Отже, точка лежить на прямій. Вважаючи, отримуємо систему рівнянь
вирішуючи яку знаходимо. Отже, пряма проходить через точку. Тоді в якості направляючого вектора можна взяти вектор
Отже, пряма проходить через точку і має направляючий вектор. Отже, параметричні рівняння прямої мають вигляд
Тоді канонічні рівняння прямої запишуться у вигляді
Інший спосіб знаходження направляючого вектора прямої по загальним рівнянням прямої заснований на тому, що в цьому випадку задані рівняння площин, а значить і нормалі до цих площинах.
Нехай загальні рівняння прямої мають вигляд
і - нормалі до першої та другої площини, відповідно. Тоді вектор можна взяти в якості направляючого вектора прямої. Справді, пряма, будучи лінією перетину цих площин, одночасно перпендикулярна векторах і. Отже, вона колінеарну вектору і означає цей вектор можна взяти в якості направляючого вектора прямої. Розглянемо приклад.
Дано загальні рівняння прямої
Записати параметричні і канонічні рівняння прямої.
Пряма є лінією перетину площин з нормалями і. Беремо в якості направляючого вектора прямої вектор
Знайдемо точку, що лежить на прямій. Знайдемо точку, що лежить на прямій. Нехай. Тоді отримуємо систему
Вирішуючи систему, знаходимо .Отже, точка лежить на прямій. Тоді параметричні рівняння прямої можна записати у вигляді
Канонічні рівняння прямої мають вигляд
Нарешті, до канонічним рівнянням можна перейти виключивши в одному з рівнянь одну з змінних, а потім іншу змінну. Розглянемо цей метод на прикладі.
Дано загальні рівняння прямої
Записати канонічні рівняння прямої.
Виключимо з другого рівняння змінну у, додавши до нього найперше, помножене на чотири. отримаємо
Тепер виключимо з другого рівняння змінну, додавши до нього перше рівняння, помножене на два. отримаємо
Звідси отримуємо канонічне рівняння прямої
§4. Взаємне розміщення прямих у просторі. Кут між прямими.
Для двох прямих у просторі можливі наступні варіанти їх взаємного розташування:
а) прямі співпадають;
б) прямі паралельні;
в) прямі перетинаються;
г) прямі схрещуються.
Розглянемо як знаючи рівняння прямих визначити їх взаємне розташування. Нехай прямі і задані своїми канонічними рівняннями
Тоді пряма проходить через точку і має направляючий вектор, а пряма проходить через точку і має направляючий вектор. Якщо прямі збігаються або паралельні, то вектори і компланарність, тобто існує число таке, що вірно рівність