Мірою інертності твердого тіла при обертальному русі є момент інерції:
де mi - елементарна маса i - го шматочка тіла, ri - відстань цього шматочка від осі обертання.
Моменти інерції деяких твердих тіл відносно осі, що проходить через їх центри мас:
Тонкий обруч I = mR 2.
Тонкий стрижень I = ml 2.
Якщо вісь обертання не проходить через центр мас, для розрахунку моменту інерції використовують теорему Штейнера:
де I - момент інерції тіла відносно даної осі, I0 - момент інерції цього тіла відносно осі, паралельної даній, і що проходить через центр мас, m - маса тіла, а - відстань між осями.
Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла: I = M,
де I - момент інерції твердого тіла, щодо осі обертання, - його кутове прискорення, М - сумарний момент сил, що діє на тіло відносно даної осі.
де l - відстань від лінії, уздовж якої діє сила, до осі обертання.
Момент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі: L = I.
де I - момент інерції твердого тіла відносно даної осі. - кутова швидкість його обертання.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої осі: L = m? R,
де m - маса частинки,? - її швидкість, r - відстань від лінії, уздовж якої рухається частка, до даної осі.
У замкнутій системі частинок повний момент імпульсу не змінюється. Li = const.
Кінетична енергія тіла, що обертається:
де I - момент інерції тіла. - його кутова швидкість.
Кінетична енергія котиться тіла:
Ek = +,
де m - маса тіла,? 0 - швидкість поступального руху центру мас, I0 - момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас. - кутова швидкість обертання тіла.
Приклади розв'язання задач
завдання 13
Прямий круглий однорідний конус має масу m і радіус підстави R. Знайти момент інерції конуса щодо його осі.
Рішення
Р азобьyoм конус на циліндричні шари вісь товщиною dr. Маса такого шару
де. - щільність матеріалу, з якого виготовлений конус. Момент інерції цього шару
Момент інерції всього конуса складається з моментів інерції всіх шарів:
Залишається висловити його через масу всього циліндра:
Махове колесо, що має момент інерції 245 кг ∙ м 2. обертається з частотою 20 об / с. Через хвилину після того, як на колесо перестав діяти обертовий момент, воно зупинилося. Знайти: 1) момент сил тертя; 2) число оборотів, яке зробило колесо до повної зупинки після припинення дії сил.
Рішення
При гальмуванні кутове прискорення негативно. Знайдемо його модуль з кінематичного співвідношення для кутової швидкості.
Це прискорення зумовлено дією моменту сил тертя
Повний кут повороту при равнозамедленно русі знаходиться зі співвідношення:
Перепишемо співвідношення для кута у вигляді:
Для знаходження числа обертів отримаємо:
Підставивши числові значення, знайдемо:
На барабан радіусом R = 20 см, момент інерції якого дорівнює I = 0,1 кг ∙ м 2. намотаний шнур, до якого прив'язаний вантаж масою m = 0,5 кг. До початку обертання висота вантажу над підлогою дорівнює h1 = 1 м. Знайти: 1) через який час вантаж опустився до підлоги; 2) кінетичну енергію вантажу в момент удару об підлогу; 3) натяг нитки. Тертям знехтувати.
h1
а вантаж діє сила тяжіння mg і сила натягу шнура Т. Рівняння поступального руху вантажу ma = mg - T.
Барабан обертається навколо нерухомої осі. Його рівняння руху M = I.
де М - момент сили натягу шнура, М = TR. I - момент інерції барабана,. = - його кутове прискорення.
Висловлюємо звідси силу натягу шнура:
і підставляємо її в рівняння руху вантажу:
a =. (11)
Час руху вантажу можна знайти з рівняння:
У момент удару об підлогу вантаж мав швидкість:
? = At =.
Отже, його кінетична енергія:
Підставивши числові значення, визначимо шукані величини:
Куля масою m = 1 кг, що котиться без ковзання, вдаряється об стінку і відкочується від неї. Швидкість кулі до удару об стінку? = 10 см / с, після удару 8 см / с. Знайти кількість тепла Q. виділилося при ударі.
Рішення
Кінетична енергія котиться тіла дорівнює:
Момент інерції кулі I =.
кутова швидкість обертання =.
Підставляємо ці величини в формулу (12):
Кількість тепла, що виділився при ударі, дорівнює різниці його кінетичних енергій до і після удару:
Підставивши числові значення, отримаємо:
а = ∙ 1 (100 ∙ 10 -4 - 64. 10 -4) = 10 -4 = 2,25 ∙ 10 -3 Дж = 2,52 МДж.
Знайти кінетичну енергію велосипеда, що їде зі швидкістю? = 9 км / год. Маса велосипедиста разом з велосипедом m = 78 кг, причому на колеса доводиться маса m1 = 3 кг. Колеса вважати тонкими обручами.
Рішення
Кінетична енергія велосипеда складається з кінетичної енергії поступального руху і кінетичної енергії обертального руху коліс.
Момент інерції коліс, що представляють собою тонкі обручі, дорівнює I =, а кутова швидкість обертання =.
Підставляємо ці значення у вираз для кінетичної енергії: Ek = + =.
Швидкість треба перевести в м / с:? = 2,5 м / с.
Підстановка числових значень дає: Ek = 253 Дж.
Однорідний стрижень довжиною 85см підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стрижня. Яку найменшу швидкість треба повідомити нижнього кінця стрижня, щоб він зробив повний оборот навколо осі?
Рішення
Щоб стрижень зміг зробити повний оборот навколо осі, він повинен піднятися до вертикального положення В.
Якщо відраховувати потенційну енергію стрижня від початкового положення А. то в положенні В центр мас його піднято на
висоту С2 С1 = l - довжина стрижня. Стрижень набуває потенційну енергію Еn = mgℓ за рахунок кінетичної енергії,
В яку йому повідомили в положенні А. Якщо
? - найменша швидкість нижнього кінця, при якій він зможе зробити повний оборот, то
кутова швидкість стрижня =.
Момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, визначаться по теоремі Штейнера:
де ml 2-момент інерції стрижня відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через центр мас, - відстань від центру мас до необхідної осі.
Кінетична енергія обертального руху:
Ek = =. =.
Згідно із законом збереження енергії, кінетична енергія стержня в положенні А дорівнює його потенційної енергії в положенні В.
Підставляємо числові значення:? = 7 м / с.
Людина масою m1 = 60 кг знаходиться на нерухомій платформі масою m = 100 кг. Яке число оборотів в хвилину робитиме платформа, якщо людина буде рухатися по колу радіуса 5 м навколо осі обертання? Швидкість руху людини щодо платформи дорівнює 4 км / год. Радіус платформи 10 м. Вважати платформу однорідним диском, а людину - точковою масою.
Рішення
Спочатку платформа з людиною лежала,
момент імпульсу цієї системи дорівнював нулю. Коли людина почне рухатися по платформі, платформа буде обертатися в протилежному напрямку. Якщо відстань від людини до осі обертання платформи r. в місці знаходження людини u = r. Таким чином, якщо людина рухається відносно платформи зі швидкістю
?. то щодо землі він буде рухатися зі швидкістю? - r. його момент імпульсу відносно осі платформи L1 = m1 (? - r) r. Момент імпульсу платформи щодо її осі:
де I - момент інерції платформи.
Оскільки платформа являє собою однорідний диск, то її момент інерції щодо осі, що проходить через центр:
Запишемо закон збереження моменту імпульсу для даної системи:
звідси можна визначити кутову швидкість обертання платформи:
Число оборотів платформи в хвилину визначиться зі співвідношення:
Підстановка числового значень дає:
n = = 0,49 об / хв.
4. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ