Зображення окремих основних геометричних форм нами вивчено. Наступним кроком має бути вивчення прийомів побудови складних предметних форм, і для цього необхідно передусім познайомитися з перетином хоча б призматичних, циліндричних і конічних форм між собою.
Візьмемо простий випадок, коли циліндр перетинається з призмою (ріс.119).
Ми маємо циліндр, що перетинає перпендикулярно площині п про їх середині (рис. 120).
Якщо йдеться про те, що по середині - це значить, уявна вісь циліндра входить в поверхню планки там, де може бути накреслена лінія, паралельна в даному випадку довгій стороні верхньої межі і ділить навпіл коротку сторону цієї межі (рис. 121).
Ясно, що перетин цієї лінії і осі циліндра буде центром шуканого кола перетину. Нам треба тільки провести через цей центр горизонтальний діаметр і при ньому повторити окружність такого ж скорочення, як і зазначені підстави циліндра (рис. 122). Знизу планки утворюється така ж друга окружність, яку ми зараз не будуємо, так як вона нам не видно.
Ускладнити завдання тим, що призначимо місце перетину не посередині, а, між іншим, на чверті відстані від краю.
Збережемо основну схему, з якої почали наше побудова (рис. 120). Знаходимо чверть (праву) короткої сторони верхньої межі і проводимо через неї подовжню паралельну (рис. 123); далі проробляємо ті ж побудови, що і в попередній задачі, - отримуємо коло перетину.
Але тут виявляється нове - коло виходить за межу нашої планки - а це означає, що циліндр перетинається з нею не суцільно, а частиною залишається неперетинання.
Неважко здогадатися, що, якщо циліндр входить в паралелепіпед лівої (від нас) своєю частиною, то справа чи не він в планку, а вона в нього входить, і лінія перетину, охопивши частину поверхні циліндра, піде прямо вниз з тим, щоб внизу піти по напрямку назад, оточити там частину циліндра і, повернувшись по прямій вгору, з'єднатися з верхньої окружністю (рис. 124).
Якщо в першому випадку ми маємо дві повні кола - кожна по свою сторону платівки, то тут ми маємо одну лінію перетину, яка, якщо її представити окремо, буде мати такий вигляд (рис. 125).
Подібна задача може ще бути ускладнена тим, що ми чомусь не бачимо верхнього підстави циліндра, а, отже, не знаємо і ступеня зорового стиснення кола перетину (рис. 126) і повинні знайти його, користуючись формою прямокутної межі. Для цього при якомусь куті верхнього прямокутника будуємо квадрат (рис. 127). Тут важливо побудувати таку форму, яка давала б дійсне враження квадрата, а не прямокутника взагалі.
Коли квадрат побудований, то треба в нього вписати коло (рис. 128). Коло торкнеться половин чотирьох сторін квадрата, зорове стиснення його буде в даному випадку по вертикалі, і найбільший візуально діаметр горизонтальний (рис. 129).
З цього кола (по мірі його стиснення) ми побудуємо і наш шуканий коло. Причому помилка в бік збільшення повноти кола створить враження вдавленности найближчій частини окружності до платівки (рис. 130), а зайве його стиснення, навпаки, - піднесеності поверхні пластинки перед циліндром (рис. 131).
Розглянемо випадок перетину циліндра з циліндром однакового діаметра під прямим кутом (рис. 132).
Якщо ми згорнувши частини цього з'єднання, то побачимо, що лінія з'єднання в натурі представляє еліпс (рис. 133) '.
Намагаючись знайти зв'язок між цією фігурою і лінією з'єднуються частин, легко побачимо (рис. 134), що кінці великої осі цього еліпса будуть збігатися зовні з найдовшими утворюють ав і її, а всередині з найкоротшими їй і df (рис. 132). Ці утворюють ми отримаємо відразу, якщо разрежем циліндри у напрямку їх осей, а мала вісь еліпса буде розташовуватися у напрямку перпендикулярному, кінці малої осі будуть на перетині тих складових, якими стикнеться наша фігура з гладким столом, коли ми це з'єднання циліндрів на нього покладемо.
Ці попередні міркування дають можливість без труднощів провести побудова для вирішення нашої задачі.
Отже, маємо зображення двох циліндрів (рис. 135).
Овальна фігура, в якій розглядаються: велика вісь, яка з'єднує дві найбільш віддалені точки окружності а й в, і мала вісь cd, перпендикулярна їй і перетинає її посередині, що з'єднує дві протилежні мають найтісніший контакт точки. На великий осі лежать фокуси / і / ', сума відстаней від яких до будь-якої точки кола дорівнює довжині великої осі.
Простий спосіб креслення еліпса - за допомогою олівця, двох голок і нитки. Якщо нам потрібно намалювати еліпс певної ширини і висоти, то від кінця малої осі беремо половину великої осі і засікаємо її на великий осі. Ця точка / і буде фокусом
Інший фокус розташується симетрично по іншу сторону від центру. У фокуси встромляємо по голці. До голках прив'язуємо нитку завбільшки з велику вісь, натягуємо її вістрям олівця і в два прийоми вичерчуємо окружність еліпса.
Насамперед розрізаємо систему двох циліндрів площиною по осях (рис. 136).
Підстави горизонтального циліндра перетнуться по вертикальних лініях через центр, а утворюють вийдуть від з'єднання кінців цих вертикальних діаметрів. Підстави вертикального циліндра розріжуть по напрямках, паралельним осі горизонтального циліндра. Точки перетину утворюють а й в і будуть кінцями великий осі еліпса.
Щоб знайти кінці малої осі, нам потрібно уявити собі, що кладемо на стіл циліндри або, що те ж саме, докладаємо з боків якісь плоскі дощечки, натерті крейдою, або шматок скла, намазаного чорнилом (рис. 137). Ця фарба дасть відбиток на циліндрах у вигляді смужок; вони і будуть якраз тими утворюють, які ми шукаємо і які в своєму перетині дадуть кінці малої осі еліпса.
На рис. 138 знайдемо ці утворюють, провівши перпендикулярні до перших діаметрами kl і їй. Вони будуть паралельні між собою, і через їх кінці підуть наші утворюють.
Ми, таким чином, маємо від лінії перетину чотири точки: а, в, с, d. Цього вже може бути достатньо, щоб через них провести всю лінію перетину.
Якщо цих чотирьох точок від лінії перетину було б недостатньо, то можна провести будь-яку кількість плоских розрізів, ведучи наш уявний ніж паралельно першому перетину (рис. 139), ці розрізи дадуть ряд пересічних на шуканої лінії перетину утворюють.
Такий же метод розрізів можна застосовувати і при знаходженні перетину двох циліндрів різних діаметрів (рис. 140). Якщо зробити розріз горизонтальною і вертикальною площинами по осі малого циліндра, то вийдуть: на малому циліндрі утворюють, а на великому - коло і утворює, звернена до малого циліндру.
У відповідних перетинах ліній цих перетинів вийдуть шукані перетину.
Якщо даних недостатньо, можна провести ще кілька перетинів, паралельних основним горизонтальному перерізі.
Для перетину конуса з циліндром (рис. 141) застосовуються ті ж міркування.
Розбирання тут способи знаходження ліній перетину мають на меті підготовку рішень задач на перетин по можливості на-віч без будь-яких особливих допоміжних побудов, що абсолютно можливо і досягається після відомої практики.
У розвитку такої практики може надати велику допомогу мультиплікаційний метод.
Перетин циліндра або конуса площиною, перпендикулярної до його осі (рис. 142), які не зустрічає ніякого утруднення в малюванні, так як це буде коло, знайти центр якого дуже просто. Труднощі починаються при похилому положенні січної площини відносно осі.
До цього можна підійти поступово, нахиляючи потроху площину перетину. У таких випадках зручніше уявити собі січну площину прямокутної форми.
Зробимо поворот навколо осі. При обертанні площині лінія перетину з кола звернеться зараз же в еліпс більшою або меншою розтягнутості (рис. 143), причому вісь, укладена всередині циліндра, буде малою віссю цього еліпса, а величину великий осі будуть обмежувати утворюють, що проходять через перпендикулярний діаметр.
Таке ж вправу потрібно проробити і з конусом (рис. 144). І тут лінія перетину, за умови, що всі підстави і вершина виявляються по різні боки січної площини, буде тим же еліпсом.