Ортонормованій базис- це базис, що складається з одиничних (нормованих) і взаємно перпендикулярних (ортогональних) векторів. В цьому випадку базисні вектора мають особливі позначення:
Координати вектора зазвичай позначаються буквами x, y, z:
Довжина вектора в ортонормированном базисі дорівнює
Вектор однозначно можна визначити не тільки завданням його координат, але і завданням довжини вектора і його напрямки. Напрямок вектора в ортонормированном базисі задається за допомогою напрямних косинусів:
де a, b, g - кути між вектором a і базисними векторами i. j. k. відповідно. Очевидно, що напрямні косинуси збігаються з координатами орта вектора: a0 =. При цьому
Приклад 7.4. Знайти координати вектора a. якщо він становить з вектором i кут 60 0. з вектором j - 120 0. а з векторів k - гострий кут, при цьому довжина вектора | a | = 2.
Рішення. З огляду на, що a = 60 0. b = 120 0. знайдемо кут g з рівняння
Отже, g = 45 0 або 135 0. За умовою g - гострий, тобто g<90 0. Тогда g=90 0. Таким образом, получаем
тобто орт вектора a має координати
або в явній формі
Питання. Чи може вектор утворювати з векторами ортонормированного базису кути: а) 45 0. 60 0. 60 0; б) 30 0. 60 0. 45 0?