Метод розрахунку коефіцієнта рангової кореляції Спірмена насправді описується дуже просто. Це той же самий Коефіцієнт кореляції Пірсона. тільки розрахований не для самих результатів вимірювань випадкових величин, а для їх рангових значень.
Залишилося тільки розібратися, що таке рангові значення і для чого все це потрібно.
Якщо елементи варіаційного ряду розташувати в порядку зростання або зменшення, то рангом елемента буде його номер в цьому впорядкованому ряду.
Наприклад, нехай у нас є варіаційний ряд. Відсортуємо його елементи в порядку убування. 26 має ранг 1, 21 - ранг 2 і т.д. Варіаційний ряд рангових значень буде виглядати наступним чином.
Тобто, при розрахунку коефіцієнта Спірмена вихідні варіаційні ряди перетворюються в варіаційні ряди рангових значень, після чого до них застосовується формула Пірсона.
Є одна тонкість - ранг повторюваних значень береться як середнє з рангів. Тобто для ряду ряд рангових значень буде виглядати як, так як перший елемент рівний 15 має ранг 2, а другий - ранг 3, і.
Якщо ж повторюваних значень немає, тобто всі значення рангових рядів - числа з діапазону від 1 до n, формулу Пірсона можна спростити до
Ну і до речі, ця формула найчастіше і наводиться як формула розрахунку коефіцієнта Спірмена.
У чому ж суть переходу від самих значень до їх рангових значень?
А суть в тому, що досліджуючи кореляцію рангових значень можна встановити наскільки добре залежність двох змінних описується монотонною функцією.
Знак коефіцієнта вказує на напрямок зв'язку між змінними. Якщо знак позитивний, то значення Y мають тенденцію збільшуватися при збільшенні значень X; якщо знак негативний, то значення Y мають тенденцію зменшуватися при збільшенні значень X. Якщо коефіцієнт дорівнює 0, то ніякої тенденції немає. Якщо ж коефіцієнт дорівнює 1 або -1, то залежність між X і Y має вигляд монотонної функції - тобто, при збільшенні X, Y також збільшується, або навпаки, при збільшенні X, Y зменшується.
Тобто, на відміну від коефіцієнта кореляції Пірсона, який може виявити тільки лінійну залежність однієї змінної від іншої, коефіцієнт кореляції Спірмена може виявити монотонну залежність, там, де безпосередня лінійна зв'язок не виявляється.
Поясню на прикладі. Припустимо, що ми досліджуємо функцію y = 10 / x.
У нас є такі результати вимірювань X і Y
, , , ,>
Для цих даних коефіцієнт кореляції Пірсона дорівнює -0.4686, тобто зв'язок слабка або відсутня. А ось коефіцієнт кореляції Спірмена строго дорівнює -1, що ніби натякає досліднику, що Y має строгу негативну монотонну залежність від X.
