ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ
§ 1. Види вимірювань
Виміром будь-якої величини називається операція, в результаті якої ми дізнаємося, у скільки разів вимірювана величина більше (або менше) відповідної величини, прийнятої за еталон (одиницю виміру). Всі вимірювання можна розбити на два типи: прямі і непрямі.
ПРЯМІ # 150; це такі вимірювання, при яких вимірюється безпосередньо цікавить нас фізична величина (маса, довжина, інтервали часу, зміна температури і т.д.).
НЕПРЯМІ # 150; це такі вимірювання, при яких цікавить нас величина визначається (обчислюється) з результатів прямих вимірювань інших величин, пов'язаних з нею певної функціональною залежністю. Наприклад, визначення швидкості рівномірного руху по вимірам пройденого шляху проміжку часу, вимірювання щільності тіла за вимірюваннями маси і об'єму тіла і т.д.
Загальна риса вимірювань # 150; неможливість отримання істинного значення вимірюваної величини, результат вимірювання завжди містить якусь помилку (похибка). Пояснюється це як принципово обмеженою точністю вимірювання, так і природою самих вимірюваних об'єктів. Тому, щоб вказати, наскільки отриманий результат близький до істинного значення, разом з отриманим результатом вказують помилку вимірювання.
Наприклад, ми виміряли фокусна відстань лінзи f і написали, що
f = (256 ± 2) мм (1)
Це означає, що фокусна відстань лежить в межах від 254 до 258 мм. Але насправді це рівність (1) має імовірнісний сенс. Ми не можемо з повною впевненістю сказати, що величина лежить в зазначених межах, є лише певна ймовірність цього, тому рівність (1) потрібно доповнити ще зазначенням ймовірності, з якою це співвідношення має сенс (нижче ми сформулюємо це твердження точніше).
Оцінка помилок необхідна, тому що не знаючи, які вони, не можна зробити певних висновків з експерименту.
Зазвичай розраховують абсолютну і відносну помилку. абсолютною помилкою # 916; x називається різницю між істинним значенням вимірюваної величини # 956; і результатом вимірювання x, тобто # 916; x = # 956 - x
Ставлення абсолютної помилки до істинного значення вимірюваної величини # 949; = (# 956 - x) / # 956; і називається відносною помилкою.
Абсолютна помилка характеризує похибка методу, який був обраний для вимірювання.
Відносна помилка характеризує якість вимірювань. Точністю вимірювання називають величину, зворотну відносної помилку, тобто 1 / # 949 ;.
§ 2. Класифікація помилок
Всі помилки вимірювання діляться на три класи: промахи (грубі помилки), систематичні і випадкові помилки.
ПРОМАХ викликаний різким порушенням умов вимірювання при окремих спостереженнях. Це помилка, пов'язана з поштовхом або поломкою приладу, грубим прорахунком експериментатора, непередбачених втручанням і т.д. груба помилка з'являється зазвичай не більше ніж в одному # 150; двох вимірах і різко відрізняється за величиною від інших помилок. Наявність промаху може сильно спотворити результат, який містить промах. Найпростіше, встановивши причину промаху, усунути його в процесі вимірювання. Якщо в процесі вимірювання промах ні виключений, то це слід зробити при обробці результатів вимірювань, використавши спеціальні критерії, що дозволяють об'єктивно виділити в кожній серії спостережень грубу помилку, якщо вона є.
Систематичні помилки називають складову похибки вимірювань, що залишається постійною і закономірно змінюється при повторних вимірах однієї і тієї ж величини. Систематичні помилки виникають, якщо не враховувати, наприклад, теплового розширення при вимірах об'єму рідини або газу, вироблених при повільно змінюється температурі; якщо при вимірюванні маси не взяти до уваги дію сили, що виштовхує повітря на зважувати тіло і на важки і т.д.
Систематичні помилки спостерігаються, якщо шкала лінійки нанесена неточно (нерівномірно); капіляр термометра в різних ділянках має різну перетин; при відсутності електричного струму через амперметр стрілка приладу коштує не на нулі і т.д.
Як видно з прикладів, систематична помилка викликається певними причинами, величина її залишається незмінною (зміщення нуля шкали приладу, неравноплечності ваг), або змінюється за певним (іноді досить складного) закону (нерівномірність шкали, нерівномірність перетину капіляра термометра і т.д.).
Можна сказати, що систематична помилка # 150; це пом'якшене вираз, що заміняє слова «помилка експериментатора».
Такі помилки виникають через те, що:- неточні вимірювальні прилади;
- реальна установка в чимось відрізняється від ідеальної;
- не зовсім вірна теорія явища, тобто не враховано якісь ефекти.
Як надходити в першому випадку, ми знаємо, # 150; потрібна калібрування або градуювання. У двох інших випадках готового рецепту не існує. Чим краще ви знаєте фізику, чим більше у вас досвіду, тим більша ймовірність, що ви виявите подібні ефекти, а значить, і усуньте їх. Загальних правил, рецептів для виявлення і усунення систематичних помилок немає, але деяку класифікацію можна провести. Виділимо чотири типи систематичних помилок.
- Систематичні помилки, природа яких вам відома, а величина може бути знайдена, отже, і виключена введенням поправок. Приклад. Зважування на неравноплечності вагах. Нехай різниця довжин плечей # 150; 0.001 мм. При довжині коромисла 70 мм і масі зважується тіла 200 г систематична помилка складе 2.86 мг. Систематичну помилку цього виміру можна усунути, застосовуючи спеціальні методи зважування (метод Гаусса, метод Менделєєва і т.д.).
- Систематичні помилки, про які відомо, що величина їх не перевищує деякого певного значення. В цьому випадку при запису відповіді може бути вказано їх максимальне значення. Приклад. У паспорті, що додається до мікрометра, написано: «допустима похибка становить ± 0.004 мм. Температура +20 ± 4 ° C. Це означає, що, вимірюючи даними мікрометрів розміри якого-небудь тіла при зазначених у паспорті температурах, ми будемо мати абсолютну похибка, що не перевищує ± 0.004 мм при будь-яких результатах вимірювань.
Часто максимальна абсолютна помилка, що дається цим приладом, вказується за допомогою класу точності приладу, який зображається на шкалі приладу відповідним числом, найчастіше узятим в гурток.
Число, що позначає клас точності, показує максимальну абсолютну помилку приладу, виражену у відсотках від максимального значення вимірюваної величини на верхній межі шкали.
Нехай у вимірах використаний вольтметр, що має шкалу від 0 до 250 В. клас точності його # 150; 1. Це означає, що максимальна абсолютна помилка, яка може бути допущена при вимірюванні цим вольтметром, буде не більше 1% від максимального значення напруги, яке можна виміряти на цій шкалі приладу, інакше кажучи:
Клас точності приладів визначає максимальну похибку, величина якої не змінюється при переході від початку до кінця шкали. Відносна помилка при цьому різко змінюється, тому прилади забезпечують високу точність при відхиленні стрілки майже на всю шкалу і не дають її при вимірах на початку шкали. Звідси випливає рекомендація: вибрати прилад (або шкалу багатограничні приладу) так, щоб стрілка приладу при вимірах заходила за середину шкали.
Якщо клас точності приладу не вказано і немає паспортних даних, то в якості максимальної помилки приладу береться половина ціни найменшої поділки шкали приладу.
Кілька слів про точність лінійок. Металеві лінійки дуже точні: міліметрові ділення наносяться з похибкою не більше ± 0.05 мм. а сантиметрові не гірше, ніж з точністю 0.1 мм. Похибка вимірювань, вироблених з точністю таких лінійок, практично дорівнює похибки відліку на око (≤0.5 мм). Дерев'яними і пластиковими лінійками краще не користуватися, їх похибки можуть виявитися несподівано великими.
Справний мікрометр забезпечує точність 0.01 мм. а похибка вимірювань штангенциркулем визначається точністю, з якою може бути зроблений відлік, тобто точністю ноніуса (зазвичай 0.1 мм або 0.05 мм).
ВИПАДКОВОЇ називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї і тієї ж величини.
При проведенні з однаковою ретельністю і в однакових умовах повторних вимірів однієї і тієї ж постійної незмінні величини ми отримуємо результати вимірювань # 150; деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності в результатах вимірювань говорять про наявність в них випадкових складових похибки.
Випадкова похибка виникає при одночасному впливі багатьох джерел, кожен з яких сам по собі надає непомітне вплив на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.
Випадкова помилка може приймати різні за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акту вимірювання неможливо. Ця помилка в рівній мірі може бути як позитивною, так і негативною. Випадкові помилки завжди присутні в експерименті. При відсутності систематичних помилок вони служать причиною розкиду повторних вимірів щодо істинного значення (рис.14).
Якщо, крім того, є і систематична помилка, то результати вимірювань будуть розкидані відносно не істинного, а зміщеного значення (рис.15).
Мал. 14 Рис. 15
Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші трохи заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстають, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.
Деякі фактори можуть викликати одночасно і систематичні і випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску і зупинки годин щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми кожен раз поспішаємо включити секундомір і кілька запізнюємося вимкнути його, то це призведе до систематичної помилку.
Випадкові похибки викликаються помилкою паралакса при відліку поділок шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря і т.п.
Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теорія випадкових явищ дозволяємо зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірювань. Нижче буде показано, що для цього необхідно провести не одне, а кілька вимірів, причому, чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірів потрібно провести.
Слід мати на увазі, що якщо випадкова похибка, отримана з даних вимірювань, виявиться значно менше похибки, яка визначається точністю приладу, то, очевидно, що немає сенсу намагатися ще зменшити величину випадкової похибки # 150; все одно результати вимірів не стануть від цього точніше.
Навпаки, якщо випадкова похибка більше приладової (систематичної), то вимірювання слід провести кілька разів, щоб зменшити значення похибки для даної серії вимірювань і зробити цю похибку менше або одного порядку з похибкою приладу.