Література: Збірник завдань з математики. Частина 1. Під ред А. В. Єфімова, Б. П. Демидовича.
Похідною другого порядку від функції $ y = f (x) $ називається похідна від її першої похідної, тобто $$ y '' (x) = (y '(x))'. $$
Похідною $ n- $ го порядку (або $ n- $ й похідною) називається похідною від похідної $ n-1 $ го порядку тобто $$ y ^ (x) = \ left (y ^ (x) \ right) ', \ qquad n = 2, 3. $$ Для похідною $ n- $ го порядку використовується позначення $ \ frac. $
Нехай $ u (x) $ і $ v (x) $ мають похідні до $ n- $ го порядку включно. Тоді для похідної $ n- $ го порядку їх твори $ u (x) v (x) $ справедлива формула Лейбніца $$ (uv) ^ = u ^ v + nu ^ v '+ \ fracu ^ v' '+. + Uv ^ = \ sum \ limits_ ^ nC_ ^ ku ^ v ^, $$ де $ u ^ = u, \, \, v ^ = v $ і $ C_n ^ k = \ frac = \ frac - $ біномінальні коефіцієнти ( за визначенням $ 0! = 1 $)
Знайти похідні 2-го порядку від наступних функцій:
$ Y '= (\ cos ^ 2 x) = 2 \ cos x (\ cos x)' = - 2 \ cos x \ sin x = -sin 2x; $
$ Y '' = (- \ sin 2x) '= - \ cos 2x (2x)' = - 2 \ cos 2x. $
Нехай $ u (x) $ і $ v (x) - $ двічі диференціюються. Знайти $ y ', \, \, y' '$ якщо:
Знайти формулу для $ n- $ й похідною заданих функцій:
5.206. Розкладаючи в лінійну комбінацію більш простих функцій, знайти похідну $ y ^ $ від функції $ y = \ frac. $
Розкладемо дріб $ \ frac $ на елементарні:
Таким чином, $ x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2). $
Прирівнюємо коефіцієнти при подібних доданків:
Застосовуючи формулу Лейбніца, знайти похідні зазначених порядків від заданих функцій:
За формулою Лейбніца отримуємо:
З завдання 5.201 виписуємо похідні синуса: $$ \ sin ^ x = \ sin (x + 15 \ pi / 2) = \ sin (x + 3 \ pi / 2 + 6 \ pi) = \ sin (x + 3 \ pi / 2) = - \ cos x; $$
Таким чином, знаходимо:
5.224. Знайти похідну другого порядку від функції, заданої неявно $ y = 1 + xe ^ y. $
Введемо функцію $ F (x, y): $
Знайдемо першу похідну:
Далі шукаємо другу похідну і замість $ y '$ підставляємо знайдену функцію: