Основні формули
Якщо всюди в області $ D $ на координатної площині $ xOy $ для формули $ I = \ iint \ limits _f \ left (x, y \ right) \ cdot dx \ cdot dy $ покласти $ f \ left (x, y \ right ) \ equiv 1 $, то, відповідно до свого геометричним змістом, подвійний інтеграл буде чисельно дорівнює площі $ S $ області інтегрування $ D $, тобто $ S = \ iint \ limits _dx \ cdot dy $. В полярній системі координат ця ж сама формула набуває вигляду $ S = \ iint \ limits _> \ rho \ cdot d \ rho \ cdot d \ phi $.
Нехай деяка поверхню $ Q $ задана рівнянням $ z = f_ \ left (x, y \ right) $. Обчислимо площа тієї частини поверхні $ Q $, яка проектується на координатну площину $ xOy $ в область $ D_ $, де функція $ f_ \ left (x, y \ right) $ неперервна і має безперервні приватні похідні. Тоді шукану площу можна обчислити за формулою $ S = \ iint \ limits _> \ sqrt \ right) ^ + \ left (\ frac \ right) ^> \ cdot dx \ cdot dy $.
Якщо рівняння поверхні $ Q $ задано в вигляді $ x = f_ \ left (y, z \ right) $ або $ y = f_ \ left (x, z \ right) $, то відповідні формули для обчислення площі поверхні мають такий вигляд:
Тут $ D_ $ і $ D_ $ - області, в які проектується поверхня $ Q $ на координатні площині $ yOz $ і $ xOz $ відповідно.
Застосування формул на практиці
Замкнута область $ D $ на площині визначається перетином параболи $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $ з двома прямими в точках $ A $ і $ B $ при $ x_ = 3 $ і $ x_ = 6 $ відповідно. Ці прямі, в свою чергу, перетинаються в заданій точхе $ C \ left (5,9 \ right) $. За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу області $ D $, розглядаючи її як правильну в напрямі осі $ Oy $.
$ Y_ = 2 \ cdot x_ ^ -16 \ cdot x_ + 31 = 2 \ cdot 3 ^ -16 \ cdot 3 + 31 = 1 $. Отримуємо $ A \ left (3,1 \ right) $.
Знаходимо координати точки $ B \ left (x_, y_ \ right) $:
$ Y_ = 2 \ cdot x_ ^ -16 \ cdot x_ + 31 = 2 \ cdot 6 ^ -16 \ cdot 6 + 31 = 7 $. Отримуємо $ B \ left (6,7 \ right) $.
Знаходимо рівняння прямої $ AC $. Вона проходить через точки $ A \ left (3,1 \ right) $ і $ C \ left (5,9 \ right) $. Її рівняння має вигляд $ y = a_ \ cdot x + b_ $. Кутовий коефіцієнт: $ a_ = \ frac = 4 $, зміщення $ b_ = 1-4 \ cdot 3 = -11 $. Остаточно $ y = 4 \ cdot x-11 $.
Знаходимо рівняння прямої $ CB $. Вона проходить через точки $ C \ left (5,9 \ right) $ і $ B \ left (6,7 \ right) $. Її рівняння має вигляд $ y = a_ \ cdot x + b_ $. Кутовий коефіцієнт: $ a_ = \ frac = -2 $, зміщення $ b_ = 9-\ left (-2 \ right) \ cdot 5 = 19 $. Остаточно $ y = -2 \ cdot x + 19 $.
Задана область $ D $ є правильною в напрямку осі $ Oy $. Нижня межа області утворена параболою. Верхня межа області складається з двох ділянок: прямий $ AC $ і прямий $ CB $. Тому область $ D $ розбиваємо на дві підобласті (ліву $ D_ $ і праву $ D_ $) вертикальної прямої, що проходить через точку $ C $.
Площі подобластей визначаємо за допомогою подвійного інтеграла $ S = \ iint \ limits _dx \ cdot dy $. При цьому подвійний інтеграл для кожної підобласті будемо обчислювати за допомогою дворазового інтеграла $ S = \ iint \ limits _dx \ cdot dy = \ int \ limits _ ^ dx \ cdot \ int \ limits _ \ left (x \ right)> ^ \ left (x \ right)> dy $.
Знаходимо площа $ S_ $ лівої подобласти $ D_ $, яка зліва обмежена прямий $ x = 3 $, праворуч - прямий $ x = 5 $, знизу - параболою $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, зверху - прямий $ AC $, рівняння якої $ y = 4 \ cdot x-11 $. Таким чином, $ a = 3 $, $ b = 5 $, $ \ phi _ \ left (x \ right) = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, $ \ phi _ \ left (x \ right) = 4 \ cdot x-11 $. Для обчислення площі $ S_ $ лівої подобласти $ D_ $ остаточно отримуємо інтеграл $ S_ = \ int \ limits _ ^ dx \ cdot \ int \ limits _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy $.
Спочатку обчислюємо внутрішній інтеграл $ I_ $, в якому інтегрування виконується по $ y $, а $ x $ вважається постійною: \ [I_ = \ int \ limits _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy = \ left [y \ right ] _ -16 \ cdot x + 31> ^ = \] \ [= \ left (4 \ cdot x-11 \ right) - \ left (2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 \ right) = - 2 \ cdot x ^ +20 \ cdot x-42. \]
Тепер отриману функцію від $ x $ слід проинтегрировать по $ x $: \ [S_ = \ int \ limits _ ^ I_ \ cdot dx = \ int \ limits _ ^ \ left (-2 \ cdot x ^ +20 \ cdot x- 42 \ right) \ cdot dx = \] \ [= - 2 \ cdot \ int \ limits _ ^ x ^ \ cdot dx +20 \ cdot \ int \ limits _ ^ x \ cdot dx -42 \ cdot \ int \ limits _ ^ dx = -2 \ cdot \ left [\ frac> \ right] _ ^ +20 \ cdot \ left [\ frac> \ right] _ ^ -42 \ cdot \ left [x \ right] _ ^ = \] \ [= - 2 \ cdot \ frac \ cdot \ left [5 ^ -3 ^ \ right] +20 \ cdot \ frac \ cdot \ left [5 ^ -3 ^ \ right] -42 \ cdot \ left [5- 3 \ right] = \] \ [= - \ frac \ cdot 98 + 10 \ cdot 16-42 \ cdot 2 \ approx 10,667. \]
Знаходимо площа $ S_ $ правої подобласти $ D_ $, яка зліва обмежена прямий $ x = 5 $, праворуч - прямий $ x = 6 $, знизу - параболою $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, зверху - прямий $ CB $, рівняння якої $ y = -2 \ cdot x + 19 $. Таким чином, $ a = 5 $, $ b = 6 $, $ \ phi _ \ left (x \ right) = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, $ \ phi _ \ left (x \ right) = - 2 \ cdot x + 19 $. Для обчислення площі $ S_ $ правої подобласти $ D_ $ остаточно отримуємо інтеграл $ S_ = \ int \ limits _ ^ dx \ cdot \ int \ limits _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy $.
Спочатку обчислюємо внутрішній інтеграл $ I_ $, в якому інтегрування виконується по $ y $, а $ x $ вважається постійною: \ [I_ = \ int \ limits _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy = \ left [y \ right ] _ -16 \ cdot x + 31> ^ = \] \ [= \ left (-2 \ cdot x + 19 \ right) - \ left (2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 \ right) = -2 \ cdot x ^ +14 \ cdot x-12. \]
Тепер інтегруємо по $ x $ отриману функцію від $ x $: \ [S_ = \ int \ limits _ ^ I_ \ cdot dx = \ int \ limits _ ^ \ left (-2 \ cdot x ^ +14 \ cdot x-12 \ right) \ cdot dx = \] \ [= - 2 \ cdot \ frac \ cdot \ left [6 ^ -5 ^ \ right] +14 \ cdot \ frac \ cdot \ left [6 ^ -5 ^ \ right] -12 \ cdot \ left [6-5 \ right] = \] \ [= - \ frac \ cdot 91 + 7 \ cdot 11-12 \ cdot 1 \ approx 4,333. \]
Площа області $ D $ дорівнює $ S = S_ + S_ = 10,667 + 4,333 = 15 $ кв.ед.
<
?php include ($ _SERVER [ "DOCUMENT_ROOT"]. "/ vstavki / blokvtext2.php"); ?>
На горизонтальній площині $ xOy $ знаходиться вертикальне циліндричне спорудження. Пол споруди (область $ D $) має вигляд прямокутника з вершинами $ O \ left (0,0 \ right) $, $ M \ left (5,0 \ right) $, $ K \ left (5,7 \ right) $ і $ N \ left (0,7 \ right) $. Дах споруди має вигляд купола і описується рівнянням $ z = \ sqrt> + \ sqrt> $. Потрібно за допомогою подвійного інтеграла обчислити площу даху цієї споруди.
Його прямокутний підлогу є правильним в напрямку осі $ Oy $. Прямі $ x = a $ і $ x = b $ обмежують підлогу в напрямку осі $ Ox $ ззаду і спереду, отже, $ a = 0 $, $ b = 5 $. Лінії $ \ phi _ \ left (x \ right) $ і $ \ phi _ \ left (x \ right) $ обмежують підлогу в напрямку осі $ Oy $ зліва і справа, отже, $ \ phi _ \ left (x \ right ) = 0 $, $ \ phi _ \ left (x \ right) = 7 $. Остаточно $ S = \ int \ limits _ ^ dx \ cdot \ int \ limits _ ^ \ sqrt \ right) ^ + \ left (\ frac \ right) ^> \ cdot dy $.
Таким чином, для знаходження площі потрібно обчислити інтеграл
остаточно $ S = \ frac \ cdot \ left (99845,86-75938,31 \ right) \ approx 885,46 $ кв.ед.
Вирішуємо контрольні з усіх предметів. 10 років досвід! Ціна від 100 руб. термін від 1 дня!
Напишемо недорого і точно в строк! Більш 50 000 перевірених фахівців
Схожі статті