Обчислення кута між прямими в просторі

Обчислення кута між прямими в просторі

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Нехай в просторі зафіксована декартова система координат, і нехай дві прямі l1 і l2 задані канонічними рівняннями:

За даними рівнянням для кожної прямої ми можемо легко визначити спрямовує вектор: t1 = (m1. N1. K1) - направляючий вектор прямої l1,

Кут між прямими дорівнює куту між векторами t1 і t2 або становить з ним в сумі p, так що косинуси цих кутів рівні по модулю і cos j = (де j - кут між прямими l1 і l2).

Отже, ми довели наступну теорему:

Теорема. Нехай в декартовій системі координат визначені напрямні вектори прямих l1 і l2. t1 = (m1. n1. k1) - направляючий вектор прямої l1. t2 = (m2. n2. k2) - направляючий вектор прямої l2. Тоді cos j =. де j - кут між прямими l1 і l2.

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Нехай дві прямі l1 і l2 задані канонічними рівняннями:

За даними рівнянням для кожної прямої ми можемо легко визначити точку, що лежить на прямій, і спрямовує вектор:

Дві прямі в просторі можуть співпадати, бать паралельними, перетинатися в точці, схрещуватися.

1 випадок. Прямі l1 і l2 збігаються Û t1 || t2 і || t2. тобто координати векторів t1. t2 і пропорційні Û t1 't2 = q і' t2 = q.

2 випадок. Прямі l1 і l2 паралельні Û t1 || t2. а вектори і t2 НЕ колінеарні, тобто координати векторів t1 і t2 пропорційні, а координати векторів і t2 не пропорційні Û t1 't2 = q і' t2 ≠ q.

3 випадок. Прямі l1 і l2 перетинаються в точці Û вектори t1 і t2 НЕ колінеарні, але вектори t1. t2 і компланарність Û t1 't2 ≠ q і t1 t2 = 0.

4 випадок. Прямі l1 і l2 схрещуються Û Вектори t1. t2 і не компланарність

Кут між прямою і площиною.

Нехай пряма l задана канонічним рівнянням. а площину a загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0.

За даними рівнянням легко визначити спрямовує вектор прямої - вектор = (m, n, k), і вектор нормалі до площини - вектор = (A, B, C).

Нехай j - кут між прямою l і площиною a, y - кут між векторами і.

Так як кут між прямою l і площиною a - це кут між прямою l і її проекцією на площину a, а вектор нормалі перпендикулярний будь-якої прямої в площині a (тобто і проекції прямої l), то j + y = або y - j = і sin j = | cos y | =.

Отже, ми довели наступну теорему:

Нехай j - кут між прямою і площиною, і нехай в декартовій системі координат визначені спрямовує вектор прямої - вектор = (m, n, k), і вектор нормалі до площини - вектор = (A, B, C). Тоді sin j =.

Криві другого порядку