Поверхні вільних форм (функціональні моделі)
Характерною особливістю запропонованого способу завдання поверхонь є те, що основним примітивом тут є поверхня другого порядку - квадрік. Він визначається за допомогою дійсної неперервної функції трьох змінних у вигляді нерівності
Таким чином, квадрік є замкнута підмножина евклідова простору, всі точки якого задовольняють зазначеному нерівності. рівняння
описує кордон цієї множини. Безліч точок, що задовольняють нерівності
утворює зовнішню область квадрика.
Вільна форма - це довільна поверхня, що володіє властивостями гладкості, безперервності і нерозривності. На базі квадриков будуються вільні форми, які описують функціональні моделі. Вільна форма, побудована на цих принципах, має ряд переваг, до яких, в першу чергу, треба віднести наступні:
- Легка процедура розрахунку координат кожної точки.
- Невеликий обсяг інформації для опису досить складних форм.
- Можливість будувати поверхні на основі скалярних даних без попередньої тріангуляції.
Цей підхід буде більш докладно викладено в наступних розділах.
У нашому курсі передбачається розглянути растрові алгоритми для зображення таких геометричних примітивів, як відрізки, багатокутники, кола та еліпси. Але спочатку ми займемося тим геометричним апаратом, який дозволить адекватно описувати об'єкти в просторі, працювати з ними і формувати зображення.
Системи координат: світова, об'єктна, спостерігача і екранна
Однією з поширених задач комп'ютерної графіки є зображення двовимірних графіків в деякій системі координат. Ці графіки призначені для відображення залежності між змінними, заданої за допомогою функції. Наприклад, у другому розділі даного курсу наведено ряд графіків, що характеризують сприйняття світла оком людини. Щоб отримати такий графік. прикладна програма повинна описати різні вихідні примітиви (точки, лінії, ланцюжка символів), вказавши їх місце розташування і розміри в прямокутній системі координат. Одиниці виміру, в яких задаються ці об'єкти, залежать від їх природи: зміна температури, наприклад, можна відображати в градусах за годину, переміщення тіла в просторі - в кілометрах в секунду, і т. Д. Ці прикладні (або орієнтовані на користувача) координати дозволяють задавати об'єкти в двовимірному або тривимірному світі користувача, і їх прийнято називати світовими координатами.
Зображення тривимірних об'єктів пов'язане з цілою низкою завдань. Перш за все треба пам'ятати, що зображення є плоским, тому треба домогтися адекватної передачі візуальних властивостей предметів, дати досить наочне уявлення про глибину. Надалі групи тривимірних об'єктів, призначених для зображення, будемо називати просторової сценою. а її двовимірне зображення - чином.
Мал. 4.3. Об'єктна система координат і система координат спостерігача
Як і у випадку з двовимірними об'єктами, першим кроком побудови є введення інформації про об'єкти. Сцена займає якесь певне місце в просторі, а її опис прив'язується до тривимірної декартової системі координат, пов'язаної з нею, - об'єктної системі координат. Координати об'єктів, що становлять сцену, визначаються на основі їх реальних розмірів і взаємного розташування. Залежно від точки, з якої розглядається сцена, можна отримати безліч різних її образів. Якщо побудовано досить багато таких образів, то по ним можна відновити об'ємну структуру предмета. Вибір точки і напрямки зору теж можна описати математично, ввівши декартову систему координат спостерігача. початок якої знаходиться в точці огляду, а одна з осей збігається з напрямком зору (рис. 4.3). Перехід від об'єктних координат до координат спостерігача математично реалізується так, як це було описано в третьому розділі. На цьому етапі перетворень зберігаються реальні розміри об'єктів.
Відомий образ формується на деякій площині, яку в подальшому будемо називати картинної площиною. Способи перетворення тривимірного об'єкту в двовимірний образ (проекції) можуть бути різними. Так чи інакше, але отриманий образ також повинен бути описаний в деякій двовимірної системі координат. Залежно від способу його отримання реальні розміри способу також можуть бути різні. Різні види проектування будуть детально розглянуті в наступних розділах.
Мал. 4.4. Картинна площину і екран
Оскільки нашою кінцевою метою є отримання зображення на екрані, то перенесення образа супроводжується зміною масштабу відповідно до розмірів екрану. Зазвичай початком координат в системі координат образу вважається лівий нижній кут листа з зображенням. На екрані дисплея початок координат традиційно знаходиться в лівому верхньому кутку. Відображення малюнка з картинної площини на екран має проводитися з мінімальним спотворенням пропорцій, що само по собі вносить обмеження на область екрану, яку займає малюнком. Зміна масштабу має здійснюватися зі збереженням пропорцій області (рис. 4.4).
Об'єкти в системі координат картинної площини задаються в будь-яких одиницях вимірювання, причому масштаб однаковий по обох осях координат. На екрані одиницею виміру є піксель, який слід розглядати як прямокутний, тому масштаби по горизонтальній і вертикальній осях можуть бути різні, що необхідно враховувати при завданні коефіцієнтів масштабування.
Розглянемо ситуацію, коли зображення займає на картинній площині прямокутну область. При відображенні малюнка на екран кожна точка вихідного прямокутника з координатами перейде в деяку точку з цілочисельними координатами. Введемо позначення:
(Передбачається, що зображення займе на екрані прямокутник). Визначимо перетворення координат образа в екранні координати формулами
Ясно, що при такому відображенні прямокутна область образа в точності перейде у відповідний екранний прямокутник. як показано на малюнку. Тепер треба визначити сам екранний прямокутник так, щоб його пропорції відповідали прямокутнику образа, тобто
де - горизонтальний і вертикальний розмір одного пікселя. Ці параметри легко встановити, знаючи розміри екрану і дозвіл. Звідси отримуємо
Тепер досить задати на екрані початок відліку і горизонтальний розмір вікна, а інші параметри легко обчислюються.