Значення слова "Номографія"
Номографія (від грец. N ó mos - закон і. графія), розділ математики, що поєднує теорію і практичні методи побудови номограм - спеціальних креслень, які є зображеннями функціональних залежностей. Особливість номограм полягає в тому, що кожен креслення зображує задану область зміни змінних і кожне з значень змінних в цій області зображено на номограмі певним геометричним елементом (точкою або лінією); зображення значення змінних, пов'язаних функціональною залежністю, знаходяться на номограмі в певній відповідності, загалом для номограмм одного і того ж типу.
На рис. 1 наведено приклад номограми для обчислення a y - одного з кутів установки різця на заточний верстаті за заданим значенням кутів різця a і j Залежність між цими величинами визначається формулою:
Номограма складається з трьох шкал: шкали кутів a y шкали кутів a і шкали кутів j. Точки кожної з шкал є зображеннями значення відповідного змінного. Номограма побудована так, що три точки, що зображують відповідно значення a y. a і j. пов'язані даної залежністю, завжди лежать на одній прямій. Звідси безпосередньо випливає спосіб обчислення по номограмі: для обчислення a y треба на шкалах a і j знайти точки, що відповідають даним значенням a і j. і через них провести пряму. Ця пряма пройде на шкалі a y через точку, відповідну згаданої значенням a y. На номограмі пунктирна лінія з'єднує точки шкал a і j із значеннями a = 7,5 ° і j = 4 °; номограмма дає відповідь a y = 62 °.
Номограми і їх класифікація. Номограми розрізняють за способом зображення змінних і за способом завдання відповідності між зображеннями змінних.
Зображення змінних. Значення змінних змальовують на номограмах або точками, або лініями. Значення змінного, приписане точці (лінії), називається позначкою точки (лінії), а сама точка (лінія) називається поміченої точкою (лінією). Область зміни змінного зображається на номограмі або сукупністю помічених точок, яка називається шкалою змінного або однопараметричним сімейством помічених ліній. Для знаходження на шкалі точок по їх позначками і значень позначок по заданих точках шкали градуюються системою штрихів, які вказують на окремі точки шкали. У деяких штрихів надписуються значення позначок точок. Відповідність між точками шкали, що не зазначеними штрихами і їх позначками, встановлюється лінійною інтерполяцією, яка виконується на номограмі на око. У сімействі ліній проводять також лише окремі лінії, інші знаходять інтерполяцією. При зображенні значень змінних точками, поряд зі шкалами, в номограмах застосовують бінарні поля. Бінарне поле є зображенням області зміни двох змінних і складається з точок, кожна з яких поставлена у відповідність пара чисел - приписано дві позначки: позначка першого змінного і позначка другого змінного. Точки бінарного поля заповнюють двовимірну область. У бінарному полі змінних і і v проводять два сімейства ліній u = const і n = const, які дозволяють за даними позначками знаходити точку в поле і по точці поля її позначки (на рис. 3 це - вертикальні прямі h і криві j). У потрібних випадках тут також застосовують лінійну інтерполяцію.
Класифікація номограмм. Найбільш поширені такі номограми: з вирівняні точок, сітчасті і транспаранти; для рівняння з двома змінними застосовують подвійні шкали.
Подвійна шкала є найпростішим видом номограми. Для рівняння F (u. N) = 0 вона складається з поєднаних шкал змінних u і n. Шкали побудовані так, що їх точки, позначки яких задовольняють рівняння, збігаються. На рис. 2 наведено приклад подвійної шкали для обчислення логарифмів: u = lg n.
Номограма з вирівняні точок рівняння F (u. N. W) = 0 складається з трьох шкал змінних u. n і w. зображують відповідно область зміни цих змінних. Шкали номограми побудовані так, що три точки, позначки яких задовольняють рівняння, лежать на одній прямій (звідси і назва номограми; приклад номограми з вирівняні точок наведено на рис. 1). Номограма з вирівняні точок з бінарним полем рівняння F (u. N. W. T) = 0 з чотирма змінними складається з шкал змінних u і n і бінарного поля змінних w і t. Шкали й поле номограми побудовані так, що дві точки з позначками u і n на шкалах і точка поля з подвійною позначкою (w. T) лежать на одній прямій, якщо значення змінних u. n. w і t задовольняють рівняння.
Номограма з двома шкалами і бінарним полем приведена на рис. 3. Вона служить для обчислення площі S равнобочной трапеції по довжині b меншої її підстави, висоті h і куту j між більшими підставами і бічною стороною:
Номограма складається з шкали S. шкали b і поля (j. H). Для знаходження S треба за даними h і j знайти точку в поле, за даним b - точку на шкалі і провести через ці точки пряму. Позначка точки перетину прямої з шкалою S дає відповідь. На малюнку показаний пунктиром приклад, коли h = 8, j = 60 ° і b = 8; відповідь: S = 100.
Номограма з вирівняні точок може містити і два і три бінарні поля, т. Е. Одним додатком лінійки давати вирішення рівняння і з п'ятьма і з шістьма змінними.
Сітчаста номограма рівняння F (u. N. W) = 0 з трьома змінними u. n і w складається з трьох сімейств помічених ліній, що зображують відповідно дані області зміни цих змінних. Лінії сімейств побудовані так, що кожні три лінії, позначки яких задовольняють рівняння, перетинаються в одній точці. На рис. 4 наведено приклад сітчастої номограми для визначення необхідної реактивної потужності k на1 квт навантаження електричні. установки для підвищення її cos j від cos j 1 до cos j 2
Вона складається з сімейства прямих, помічених значеннями існуючого cos j 1. сімейства прямих, помічених значеннями k. і сімейства кривих, помічених значеннями шуканого cos j 2. Для обчислення величини k за даними cos j 1 і cos j 2 треба знайти на номограмі відповідні лінії і точку їх перетину. Позначка лінії сімейства k. що проходить через цю точку, дасть відповідь [так, для cos j 1 = 0,8, cos j 2 = 0,95 ( «відставання») знаходимо k = 0,4].
При побудові сітчастих номограм може бути поставлена додаткове завдання: знайти таке перетворення, при якому всі три сімейства ліній номограми звертаються в сімейства прямих, що спрощує її викреслювання. Таке завдання носить назву анаморфози і еквівалентна завданню побудови для даного рівняння номограми з вирівняні точок, так як за допомогою корелятивного перетворення сітчасту номограмму з прямих можна перевести в номограмму з вирівняні точок з трьома шкалами. Для побудови сітчастих номограм з прямих ліній застосовуються т. Зв. функціональні сітки. Функціональна сітка являє собою систему координатних ліній (u. N) (часто виготовлену друкарським способом), що мають в декартових координатах рівняння:
Найпростішими функціональними сітками є логарифмічна і напівлогарифмічний папір (див. Логарифмічний папір). Існують також: сітка, на якій відрізками прямих зображаються частини синусоїди; сітка для зображення нормального закону розподілу ймовірностей прямою лінією (див. Імовірнісна папір) і т.п. Функціональні сітки застосовуються і при побудові сітчастих номограм, коли лінії третього сімейства - криві, але виглядають на сітці простіше або наочніше, ніж в декартовій системі координат.
Транспарантний номограмма в найпростішому випадку складається з двох площин - основний площині і транспаранта із зображеннями на них змінних у вигляді шкал, бінарних полів або сімейств помічених ліній; основна площину і транспарант можуть також містити непомічені ( «німі») лінії і точки. Номограма побудована так, що елементи, помічені значеннями, що задовольняють рівняння, а також «німі» елементи номограми при накладенні транспаранта на основну площину повинні в певній послідовності вступати в контакти. Контактом двох елементів називається приналежність їх одного іншому (точка лежить на лінії, пряма стосується лінії і т.д.). Для практичного здійснення необхідних контактів в потрібних випадках транспарант роблять з прозорого матеріалу.
На рис. 5 показана Транспарантний номограмма для обчислення температури t суміші двох рідин з однаковою теплоємністю по формулі:
де m1 - маса з температурою t1. m2 - маса з температурою t2. Номограма складається з сімейства паралельних прямих на основній площині номограми і шкали на транспаранті, оформленому у вигляді лінійки. Прямі мають позначки m1 - вліво від середньої прямої з позначкою 0 (на рис. 5 вона виділена), і позначки m2 - вправо від середньої прямої. Шкала транспаранта є одночасно шкалою змінних t1. t2 і t. Для обчислення по номограмі накладають транспарант на основну площину так, щоб точки, що відповідають даним m1 і m2. виявилися на прямих, які відповідають даним t2 і t1. т. е. тут здійснюється контакт між точкою t2 і прямий m1 і між точкою t1 і прямий t2. Відповіддю буде позначка точки перетину шкали t з прямою, що має позначку 0. В даному випадку ця пряма грає роль «німого» елементу номограми, що вступає в контакт з точкою відповідної шкали. На рис. 5 вирішене приклад, коли m1 = 8 кг, t1 = 52 °, m2 = 10 кг, t2 = 16 °; відповідь: t = 32 °.
Прикладом транспарантной номограми, транспарант якої має лише поступат. рух, є логарифмічна лінійка.
Складові номограми. Для рівнянь з багатьма змінними застосовують складені номограми, що представляють систему отд. номограмм, пов'язаних спільними шкалами або сімействами ліній. Зазвичай елементами складених номограм є номограми з вирівняні точок і сітчасті номограми.
Похибки обчислень по номограммам. Виконання обчислень за номограмами супроводжується похибками, які є наслідком неможливості (в процесі обчислення) точного здійснення необхідної відповідності між елементами номограми.
Точність обчислення по номограммам істотно залежить від акуратності виконання необхідних операцій. При обчисленні по номограммам з вирівняні точок слід застосовувати прозору лінійку з поздовжньою візирної рисою.
Можливість подання рівнянь номограмами. Номограми поділяються на точні і наближені.
Номограма даної функціональної залежності називається точною, якщо обумовлене її типом відповідність між зображеннями змінних (в припущенні точного здійснення) встановлює між змінними залежність, збігається з даною.
Умови точного номографірованія накладають певні обмеження на вигляд рівнянь, для яких можна побудувати номограми.
Умови, яким має задовольняти рівняння, для того щоб можна було побудувати його номограмму, називаються умовами номографіруемості. При побудові номограм номографіруемое рівняння перетворюється в одну з т. Зв. канонічних форм, для яких відомі в загальному вигляді рівняння шкал, полів, сімейств ліній відповідної номограми.
При побудові складових номограмм додатково необхідно подання цього рівняння з багатьма змінними у вигляді системи рівнянь з меншим числом змінних - т. Зв. поділ змінних (це досягається введенням допоміжних параметрів).
Номограма даної функціональної залежності називається наближеною, якщо обумовлене типом номограми відповідність між її елементами (в припущенні точного його здійснення) встановлює між змінними залежність, приблизно представляє дану. Створено ряд способів побудови наближених номограм в основному типу з вирівняні точок.
На рис. 6 зображена наближена номограма інтегрального закону Стьюдента розподілу ймовірностей:
Похибка у визначенні t за рахунок наближеного номографірованія в даній області зміни змінних а. k і t не перевищує ± 0,001.
Наближені номограми застосовують тоді, коли точні номограми неможливі або коли точні номограми мають невдалу форму і дають велику похибку у відповіді.
Історична довідка. Геометричні зображення залежностей між змінними, що рятують від обчислень, відомі давно. До них можна віднести досить складні побудови, що містять сімейства ліній і шкали як зображення змінних (зустрічаються, наприклад, в сонячний годинник і астролябія). Розробка теорії номографіческіх побудов почалася в 19 ст. Першою була створена теорія побудови прямолінійних сітчастих номограм (французький математик Л. Л. К. Лаланн, 1843). Підстави загальної теорії номографіческіх побудов дав М. Окань в 1884-91; в його ж роботах вперше зустрічається назва «Н.». Першим в Росії питаннями Н. почав займатися Н. М. Герсеванов в 1906-08. Велика заслуга в справі розвитку теорії Н. і організації номографірованія інженерних розрахунків належить Н. А. Глаголєву, який очолював радянську номографіческіе школу.
Літ .: Пентковський М. В. Вважають креслення. (Номограми), 2 видавництва. М. 1959; його ж, Номографія, М. - Л. 1949; Герсеванов Н. М. Основи номографії, 2 видавництва. М. - Л. 1932; Глаголєв Н. А. Теоретичні основи номографії, 2 видавництва. М. - Л. 1936; його ж. Курс номографії, 2 видавництва. М. 1961; Невський Б. А. Довідкова книга по номографії, М. - Л. 1951; Номографіческіе збірник, М. 1951; D'Ocagne М. Trait é de nomographie, 2 é d. P. тисяча дев'ятсот двадцять одна; Soureau R. Nomographie ou trait é des abaques, t. 1-2, P. 1921.
М. В. Пентковський.
Мал. 2. Подвійна шкала для обчислення логарифма (u) числа (v).
Мал. 1. Номограма з вирівняні точок для обчислення a y.
Мал. 6. Наближена номограма з вирівняні точок інтегрального закону Стьюдента розподілу ймовірностей.
Мал. 5. Транспарантний номограмма для визначення температури суміші двох рідин з однаковою теплоємністю.
Мал. 4. Сетчатая номограмма для обчислення потужності, потрібної на 1 квт навантаження електричної установки для переходу від cos j 1 до cos j 2.
Мал. 3. Номограма з вирівняні точок з бінарним полем для обчислення площі (S) равноблочной трапеції.
Велика Радянська Енциклопедія М. "Радянська енциклопедія", 1969-1978
Читайте також в Великої радянської енциклопедії:
Номоканони Номоканони (грец. Nomokánones), збірники візантійського канонічного (церковного) права, що включали імператорські постанови (nómoi), що стосуються церкви, і церковного пра.
Нонешвілі Йосип Еліозовіч Нонешвілі Йосип Еліозовіч (р. 6.4.1918, с. Карданахі, нині Гурджаанському району Грузинської РСР), грузинський радянський поет. Член КПРС з 1945. Закінчив філологічний факультет Тбіліського.
Ноніус Ноніус, допоміжна шкала, за допомогою якої відраховують частки ділень основної шкали вимірювального приладу. Прототип сучасного Н. запропонований французьким математиком П. Вернье, по.