С.С.ЧЕСНОКОВ. С.Ю.НІКІТІН.
І.П.НІКОЛАЕВ. Н.Б.ПОДИМОВА.
М.С.ПОЛЯКОВА. проф. В.І.ШМАЛЬГАУЗЕН,
фізфак МГУ, м.Москва
I. механіка (закінчення)
6 Найпростіший прилад для вимірювання об'єму протёкшей через нього води (водомір) являє собою відрізок горизонтальної труби змінного перерізу, в широку і вузьку частини якої вмонтовані тонкі вертикальні трубки. Площі перетину широкої і вузької частини труби рівні відповідно S1 = 30 см 2 і S2 = 10 см 2. Який об'єм води V протікає через водомір за 1 с, якщо різниця рівнів води в вертикальних трубках становить h = 4 см? Перебіг води вважати стаціонарним, капілярними ефектами в вертикальних трубках знехтувати. Прискорення вільного падіння прийняти рівним g = 10 м / с 2.
Записуючи для води, що тече по трубі змінного перерізу, рівняння Бернуллі, маємо:
де p1. p2 - тиск води в широкому і вузькому перетинах труби, 1. 2 - швидкості води в цих перетинах, - щільність води. Звідси слідує що
З іншого боку, Об'єм води, що протікає через водомір за одиницю часу, визначається як
Об'єднуючи записані вирази, знаходимо відповідь:
7 Математичний маятник відхилили від положення рівноваги на малий кут 0 = 0,1 радий і відпустили без початкової швидкості, після чого маятник став здійснювати гармонічні коливання. Знайдіть максимальну величину ymax вертикальної складової швидкості маятника. Довжина маятника l = 0,4 м. Прискорення вільного падіння прийняти рівним g = 10 м / с 2. Вважати, що sin.
Кут відхилення маятника від вертикалі змінюється в часі за законом:
де - циклічна частота. Отже, модуль лінійної швидкості маятника залежить від часу наступним чином:
Величина вертикальної складової швидкості маятника дорівнює
Максимальне значення цієї величини досягається при
8 За гладкому жолобу, що має форму дуги кола, з точки A без початкової швидкості починає ковзати маленький брусок. Коли цей брусок проходить половину шляху до нижньої точки жолоба (точки B), з точки A починає ковзати без початкової швидкості другий такий же брусок.
Знайдіть, який кут становитиме з вертикаллю пряма, що з'єднує другий брусок з центром дуги (точкою O), в момент, коли перший брусок досягне точки B. якщо AOB відомий і дорівнює 0 (0 1).
При русі першого бруска кут 1. задає його положення, змінюється в часі за законом
де R - радіус жолоба. У момент t1. коли починає рух другої брусок,
звідки Отже, закон руху другого бруска має вигляд:
Коли перший брусок в момент часу t2 досягає точки B. Оскільки шуканий кут = 2 (t2), відповідь має вигляд:
9 На ракеті, що злітає вертикально з постійним прискоренням а = 1,25g. встановлені маятниковий годинник. Точно такий самий годинник розташовані на поверхні Землі. На який час t будуть відрізнятися свідчення цього годинника після закінчення t = 1 хв після зльоту ракети? Час t виміряна по годинах, які знаходяться на Землі. Залежністю прискорення вільного падіння g від висоти знехтувати.
Згідно із законом додавання прискорень модуль прискорення вільного падіння в системі відліку, пов'язаної з ракетою, дорівнює g '= g + a. Отже, частота малих коливань маятника, встановленого на ракеті,
де l - довжина нитки. Частота коливань маятника, що знаходиться на Землі,
Так як показання годин пропорційні числу коливань маятника за розглянутий час, то після закінчення часу польоту t годинник на ракеті покажуть час
тобто підуть вперед на
10 Два кульки масами m і 2m прикріплені до пружинам жорсткостями k і 8k відповідно і надіті на гладкий горизонтальний стрижень. Вільні кінці пружин закладені в нерухомі стінки так, що в положенні рівноваги пружини не деформовані, а кульки торкаються один одного. Кулька масою m відводять вліво на невелику відстань і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть час між першим і другим зіткненнями кульок, вважаючи їх абсолютно пружними.
Нехай швидкість кульки масою m перед ударом дорівнює 0. З законів збереження імпульсу і енергії при пружному зіткненні кульок випливають рівності:
Звідси Направивши координатну вісь OX вправо і поєднавши початок координат з положенням рівноваги, для координат кульок маємо:
де A1 і A2 - амплітуди коливань кульок, - частоти коливань.
Швидкості коливних кульок визначаються за формулами:
Вважаючи в цих формулах t = 0 і використовуючи знайдені раніше початкові значення швидкостей 1 і 2. отримуємо, що Звідси випливає, що А1 = А2 = А. Друге зіткнення кульок відбудеться в момент, коли x1 = x2. маємо: