1. Безпосереднє інтегрування.
2. Інтеграли від деяких складних функцій.
3. Інтегрування методом заміни змінної (методом підстановки).
4. Метод інтегрування частинами.
Під безпосереднім інтегруванням розуміють такий спосіб інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції і застосування властивостей невизначеного інтеграла приводиться до одного або кількох табличних інтегралів.
Рішення. Скористаємося властивостями невизначеного інтеграла: уявімо інтеграл як суму і різницю відповідних інтегралів:
=. Винесемо константи за знак інтеграла:
і скористаємося табличними інтегралами. Отримаємо, що = =.
Рішення. Кожне складова, що стоїть під знаком інтеграла, представимо у вигляді ступеня з раціональним показником. Для цього застосуємо наступні властивості ступеня: а -п =; . тоді
=. Уявімо даний інтеграл як суму і різницю інтегралів, винесемо константи за знак інтеграла:
. Скориставшись табличним інтегралом. отримаємо: = = = = = =
Рішення. Розділивши почленно чисельник на знаменник, отримаємо = =.
Уявімо даний інтеграл як суму і різницю інтегралів, винесемо константи за дужки:
Рішення. Розкриваючи дужки і застосовуючи табличні інтеграли, отримаємо:
Деякими складними функціями вважатимемо функції виду f (kx + b), де k і b - будь-які дійсні числа. Так, - приклади деяких складних функцій. В аргументі цих функцій змінна х знаходиться тільки в першого ступеня!
Для знаходження інтеграла від деяких складних функцій будемо використовувати формулу:. Її правильність легко перевіряється диференціюванням обох частин.
Можна також застосовувати наступний алгоритм:
1. Вибрати табличний інтеграл, до якого зведеться даний.
2. Замість х в табличному інтеграл підставити вираз KХ + b з вихідного інтеграла.
3. У праву частину додати множник. де k - коефіцієнт перед х.
Розглянемо знаходження інтеграла від деяких складних функцій на прикладах.
Рішення. Бачимо, що під знаком інтеграла стоїть деяка складна функція. Скористаємося табличним інтегралом.
У нашому прикладі в якості аргументу виступає кут 2х. Виділимо коефіцієнт k. стоїть перед х: k = 2, отже, в праву частину ми повинні додати множник. тобто . Тоді отримаємо, що.
Рішення. Під знаком інтеграла стоїть деяка складна функція. Скористаємося табличним інтегралом.
У прикладі в якості аргументу виступає вираз 1-х. Виділимо коефіцієнт k. стоїть перед х: k = -1, отже, в праву частину додамо множник (-1). Тоді отримаємо, що.
Рішення. Під знаком інтеграла стоїть деяка складна функція. Скористаємося табличним інтегралом.
У прикладі в якості аргументу виступає вираз 0,5х + 3. Виділимо коефіцієнт k. стоїть перед х: k = 0,5. отже, в праву частину додамо множник 1: 0,5 = 2. Тоді отримаємо, що.
Рішення. Під знаком інтеграла стоїть деяка складна функція. Скористаємося табличним інтегралом.
У прикладі в якості аргументу виступає вираз 5-3х. Виділимо коефіцієнт k. стоїть перед х: k = - 3, отже, в праву частину додамо множник (-1/3). Тоді отримаємо, що =.
- Інтегрування методом заміни змінної (методом підстановки).
Обчислити заданий інтеграл безпосереднім інтегруванням або взяттям його як інтеграла від деякої складної функції вдається далеко не завжди. Одним з найбільш ефективних прийомів є метод підстановки. Сутність цього методу полягає в тому, що шляхом введення нової змінної вдається звести заданий інтеграл до нового інтеграла, який найчастіше є табличним.
В основі методу підстановки лежить твердження, що є наслідком правила диференціювання похідною складної функції. Нехай задана складна функція y = f (g (x)). Тоді вихідний інтеграл можна привести до виду:. Ця формула називається формулою заміни змінних в невизначеному інтегралі.
Наведемо алгоритм знаходження невизначеного інтеграла методом заміни змінної.
- Введемо нову змінну u таким чином, щоб під знаком інтеграла стояла функція, яка містить і. і похідна і (u = g (x)).
- Знайдемо du за формулою: du = і'dx.
- Висловимо dx через du (при цьому пам'ятаємо, що якщо множник в одній частині формули знаходився в чисельнику, то в іншу частину він перейде в знаменник і навпаки: якщо множник знаходився в знаменнику, то в іншу частину він перейде в чисельник).
- Підставами і і dx в вихідний інтеграл. Якщо підстановка виконана вірно, то відбудеться скорочення однакових множників і інтеграл зведеться до табличному щодо змінної і. .
- Обчислити інтеграл зі змінною і.
- Перейти від змінної інтегрування і до початкової змінної х.
Розглянемо застосування методу підстановки на конкретних прикладах.
Рішення. 1. Виконаємо підстановку u = х 2 з метою прийти до інтеграла від функції е і.
2. Знайдемо du по формулі du = і'dx: du = (х 2) 'dx = 2хdx.
3. Висловимо dx з виразу пункту 2 (du = 2хdx):.
4. Підставами і і dx в вихідний інтеграл: =. Бачимо, що х можна скоротити і прийти до інтеграла щодо змінної і:.
5. Для знаходження отриманого інтеграла константу винесемо за знак інтеграла:. По таблиці невизначених інтегралів знаходимо, що =.
Рішення. 1. Виконаємо підстановку u =. Тоді під знаком інтеграла буде стояти функція від u () і похідна u (u '= cosx).
2. Знайдемо du по формулі du = і'dx: du = () 'dx = cosхdx.
3. Висловимо dx з виразу пункту 2 (du = cosхdx):.
4. Підставами і і dx в вихідний інтеграл: =. Бачимо, що cosх можна скоротити і прийти до інтеграла щодо змінної і:.
5. По таблиці невизначених інтегралів знаходимо, що =.
Суть методу інтегрування по частинах цілком відповідає його назві. Справа в тому, що при обчисленні інтеграла цим методом підінтегральний вираз представляють у вигляді добутку двох множників u і dv. причому d х обов'язково входить в dv. Далі користуються формулою інтегрування частинами:
При обчисленні інтегралів методом по частинах головним є розумне розбиття подинтегрального вираження на u і dv. Зазначимо деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:
1. Якщо під знаком інтеграла зустрічається логарифмічна або зворотні тригонометричні функції (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx). то їх позначають за і. інші множники - за dv.
2. У інтеграли виду. . . де Р (х) - многочлен, k -const, за і приймають многочлен Р (х), інші множники - за dv.
Для знаходження невизначеного інтеграла методом по частинах можна використовувати наступний алгоритм:
1. Розбиваємо підінтегральний вираз на u і dv (відповідно до правила, розглянутим вище).
3. Підставляємо u, v, dи і dv в формулу і обчислюємо вийшов інтеграл.
Розглянемо застосування методу інтегрування по частинах на прикладах.
Рішення. 1. Оскільки під знаком інтеграла зустрічається логарифмічна функція, то її приймаємо за u: u = lnx. Решта множники приймаємо за dv: dv = хdx.
2. Знаходимо dи = і'dx: dи = (lnx) 'dx =.
Знаходимо. = (Вважаємо С = 0).
3. Скористаємося формулою. = Lnx # 8729; - = = lnx # 8729; - =.
Рішення. 1. Вихідний інтеграл має вигляд. отже, за і приймають багаточлен (і = 2х-3), інші множники - за dv: dv = е 3х dx.
2. Знаходимо dи = і'dx: dи = (2х-3) 'dx = 2dx.
Знаходимо. = (Вважаємо С = 0).
3. За формулою маємо: = (2х-3) # 8729; - = =.
- Які основні методи інтегрування існують?
- Що називають безпосереднім інтегруванням?
- Як обчислюються інтеграли від деяких складних функцій?
- У чому полягає сутність методу інтегрування підстановкою?
- У чому сутність методу інтегрування по частинах?
Генерація сторінки за: 0.05 сек.