На практиці іноді потрібно знати найімовірніше число настання події в схемі Бернуллі, тобто при якому m і фіксованому n ймовірність Рn (m) приймає найбільше значення. Позначимо це число через m0 і знайдемо його, застосовуючи формулу Бернуллі. отримаємо:
Тобто найімовірніше частота m0 знаходиться в інтервалі m0 Î[Np -q; np + p], довжина якого дорівнює одиниці. Так як найімовірнішого частота може виражатися тільки цілим числом, то вона може приймати або одне значення, якщо кордону виражені дробовими числами, або два значення, якщо кордону самі є цілими числами.
Завдання 25. У результаті багаторічних спостережень, ймовірність дощу 21 / VII в нашому місті становить 0.3. Знайти найімовірніше число дощових днів 21 / VII за найближчі 30 років.
Так як np -q £ m0 £ np + p. то найімовірніше число дощових днів m0 знайдемо з подвійного нерівності:
30 × 0.3-0.7 £ m0 £ 30 × 0.3 + 0.3,
У цьому інтервалі знаходиться лише одне ціле рішення m0 = 9. Тобто, з найбільшою часткою ймовірності можна стверджувати, що в найближчі 30 років в цей день буде дощ лише в 9 випадках.
Завдання 26. У розпліднику 40 вакцинованих кроликів і 10 контрольних. Здійснюють перевірку поспіль 14 кроликів, результат реєструють і відправляють кроликів назад. Визначити найімовірніше число появи контрольного кролика.
14 × 0.2-0.8 £ m0 £ 14 × 0.2 + 0.2; або 2 £ m0 £ 3.
Завдання має два рішення: контрольних кроликів буде або 2, або 3. Тоді можна підставити ці числа в формулу Бернуллі і переконатися, що вірогідність рівна.
Завдання 27. У ящику 100 стандартних деталей і 20 бракованих. З ящика беруть деталь, реєструють її якість і повертають на місце. Найімовірніше число дістати стандартну деталь дорівнює 15. Скільки деталей встигли перевірити?
Рішення. За умовою завдання m0 = 15, ймовірність дістати стандартну деталь становить; . Знайдемо n. підставивши значення в подвійне нерівність (1.16). маємо:
Рішенням нерівності щодо n буде. або 17 £ n £ 18.2. Т.ч. перевірили чи 17, чи 18 деталей.
Аналізуючи подвійне нерівність для знаходження найімовірнішого числа успіху в n досвідах, можна помітити особливу роль твори nр. яке можна розглядати, як середнє число успіхів в n випробуваннях: тобто m0 = np.
Завдання 28. Перший робітник за зміну виготовив 120 деталей, другий -140 деталей. Імовірність того, що ці вироби вищого сорту становить відповідно 0.94 і 0.8. Знайти найімовірніше число виробів вищого сорту, виготовлених кожним робітником.
Для визначення ймовірності рідкісних явищ використовується асимптотична формула Пуассона, тобто справедлива наступна теорема.
Теорема.Еслі ймовірність р події A в кожному повторному випробуванні пов'язана з числом незалежних випробувань n, яке досить велике, то ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія A відбудеться m раз, наближено знаходиться за формулою
Закон Пуассона застосовується для визначення ймовірності появи m подій, що відбуваються незалежно один від одного з постійною ймовірністю (середньою інтенсивністю), причому число випробувань n досить велике (n ® ¥), а ймовірність появи події в кожному випробуванні p мала, тобто p ®0 (або q ®0).
Наближені значення ймовірності за формулою Пуассона затабуліровани і наведені в таблиці 1 Додатків.
Завдання 29. прядильниць обслуговує 1000 веретен. Імовірність обриву нитки на одному веретені протягом 1 хв. дорівнює 0.002. Знайти ймовірність того, що протягом хвилини обрив відбудеться більш ніж на трьох веретенах.
Рішення. За умовою завдання відомо, що n = 1000, p = 0.002, m> 3.
Оскільки обрив нитки на кожному веретені може або відбутися, або не відбутися, то мова йде про незалежних повторних випробуваннях. Той факт, що ймовірність обриву нитки мала, дає можливість використовувати для вирішення формулу Пуассона для «рідкісних явищ».
Маємо l = np = 1000 × 0.002 = 2.
Використовуючи формулу Пуассона, маємо:
Завдання 30. Радіоапаратура складається з 1000 електроелементів. Імовірність відмови одного з них протягом року роботи дорівнює 0.001 і не залежить від стану інших елементів. Яка ймовірність відмови:
а) двох елементів;
б) не менше двох і не більше чотирьох елементів;
в) не менше двох елементів в рік?
Рішення. Ці незалежні повторні випробування обчислюються за формулою Пуассона для рідкісних явищ. Тоді l = np = 1000 × 0.001 = 1. Знайдемо ймовірність по таблиці 1.