Якщо функція визначена і неперервна на відрізку. то вона на цьому відрізку досягає своїх найбільшого і найменшого значень. Якщо своє найбільше значення функція приймає в точці, то буде локальним максимумом функції, так як в цьому випадку існує околиця точки, така, що.
Однак своє найбільше значення функція може приймати і на кінцях відрізка. Тому, щоб знайти найбільше значення безперервної на відрізку функції, треба знайти всі максимуми функції на інтервалі і значення на кінцях відрізка, тобто і, і вибрати серед них найбільше. Замість дослідження на максимум можна обмежитися перебуванням значень функції в критичних точках.
Найменшим значенням безперервної на відрізку функції буде найменший мінімум серед усіх мінімумів функції на інтервалі і значень і.
Завдання. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку.
Рішення. Знаходимо похідну функції:
Знаходимо точки, в яких похідна дорівнює нулю:
З отриманих значень нам треба залишити лише ті, які належать заданому проміжку. Обидва значення лежать в цьому проміжку.
Знаходимо значення функції в отриманих стаціонарних точках з проміжку і на кінцях проміжку: