Виберемо довільний вектор простору і сумісний його початок з початком координат:.
Знайдемо проекції вектора на координатні осі. Проведемо через кінець вектора площини, паралельні координатним площинам. Точки перетину цих площин з координатними осями позначимо відповідно через M1. М2 і М3. Отримаємо прямокутний паралелепіпед, однією з діагоналей якого є вектор. Тоді ПРХ. прy. прz. за ви-
поділу суми декількох векторів знаходимо.
Позначимо проекції вектора на осі Ox. Oy і Oz відповідно через. і. тобто . . . Тоді з рівності (5.1) і (5.2) отримуємо
тобто сума напрямних косинусів ненульового вектора дорівнює одиниці.
Легко помітити, що координатами одиничного вектора є числа. тобто
Отже, задавши координати вектора, завжди можна визначити його модуль і напрямок, тобто сам вектор.
Дії над векторами, заданими проекціями
Нехай вектори і задані своїми проекціями на осі координат Ox. Oy. Oz або, що те ж саме
Лінійні операції над векторами
Так як лінійні операції над векторами зводяться до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів, то можна записати:
або коротко. Тобто при додаванні (відніманні) векторів їх однойменні координати складаються (віднімаються).
2. або коротше. Тобто при множенні вектора на скаляр координати вектора множаться на цей скаляр.
З визначення вектора як спрямованого відрізка, який можна пересувати в просторі паралельно самому собі, слід, що два вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності:. тобто