Безперервність синуса і косинуса
Синус і косинус це відносини, які визначається значенням гострого кута прямокутного трикутника і сторонами трикутника.
Ось графік синуса x і косинуса х
-Ми розглядаємо кути в радіанах
-Замість θ ми будемо використовувати x
g (x) = cos (x)
Очевидно, що так як h прагне до нуля, координати P прагнуть до відповідним координатам B.
Але за визначенням ми знаємо, що
sin (0) = 0 і cos (0) = 1
Значення функцій збігаються з тими межами, коли x прямує до 0 (нагадує визначення безперервності, яке ми маємо).
limx → 0 sin (x) = sin (0) = 0 limx → 0 cos (x) = cos (0) = 1 Звідси ми отримуємо наступну теорему
ВИЗНАЧЕННЯ 2.7.1
Кажуть, що функція f (x) є неперервною в точці c якщо виконуються наступні умови
-f (c) визначена
-limx → c f (x) існує
-limx → c f (x) = f (c) Tеорема 2.8.1
Функції sin (x) і cos (x) - безперервні
Proof
Нехай h = x - c. Звідси x = h + c. Тоді x → c еквівалентно вимогу h → 0
Функція f (x) неперервна в c якщо такі умови вірні:
-f (c) визначено
-limh → 0 f (h + c) існує
-limh → 0 f (h + c) = f (c) Припустимо, що
limx → 0 sin (x) = 0 і limx → 0 cos (x) = 1
Перші дві умови безперервності виконуються. Ми повинні тепер показати що
limh → 0 sin (c + h) = sin (c)
зараз
limh → 0 sin (c + h) = limh → 0 [sin (c) cos (h) + cos (c) sin (h)] = limh → 0 sin (c) cos (h) + limh → 0 cos ( c) sin (h) = sin (c) limh → 0 cos (h) + cos (c) limh → 0 sin (h) = sin (c) (1) + cos (c) (0) = sin (c ) Безперервність інших тригонометричних функцій
tan (x) = sin (x) / cos (x)
tan (x) є неперервною скрізь, крім, де cos (x) = 0 що означає
x = ± φ / 2, ± 3φ / 2, ± 5φ / 2. = ± kφ / 2 (k = 1, 3, 5.) Подібно, так як
cot (x) = cos (x) / sin (x)
sec (x) = 1 / cos (x)
cosec (x) = 1 / sin (x)
вони всі є безперервними на відповідних інтервалах, так як безперервні sin (x) і cos (x). Отримання меж стисненням
Ми будемо використовувати теорему стиснення (теорему про двох міліціонерів) для знаходження меж
limx → 0 sin (x) / x = 1
limx → 0 [1 - cos (x)] / x = 0 Розглянемо графік
І графік
Ось проблема:
- Коли x прямує до нуля, і верх, і низ функції прагне до нуля.
- sin (x) прагне до нуля і це означає, що дріб в цілому прагне до нуля.
- x прагне до нуля означає, що функція в цілому прагне до + ∞. Але ми не можемо записати ці функції в іншій формі, використовуючи методи алгебри, щоб вирішити цю проблему. Ми скористаємося іншим методом. Один з таких методів отримано за допомогою наступної теореми: Теорема стиснення (Теорема про двох міліціонерів)
Нехай f, g і h буде функцією задовольняє g (x) ≤f (x) ≤h (x) для всіх x в деяких відкритих інтервалах, що містять точку a. з можливими винятками, що це не виконується в точці.
Якщо g і h мають ті ж самі межі коли x прагне до a, кажуть, що
limx → a g (x) = limx → a h (x) = L
тоді f також має такий же межа, коли x прагне до a, тобто s
limx → a f (x) = L Example:
Використовуйте теорему стиснення, щоб знайти
limx → 0 x 2 sin 2 (1 / x)
Рішення
Так як 0 ≤ sin (x) ≤ 1, тоді 0 ≤ sin 2 (x) ≤ 1 і також 0 ≤ sin 2 (1 / x) ≤ 1
Помножимо остання нерівність на x 2
0 ≤ x 2 sin 2 (1 / x) ≤ x 2
Але limx → 0 0 = limx → 0 x 2 = 0
Тоді, відповідно до теореми стиснення
limx → 0 x 2 sin 2 (1 / x) = 0 Перед доказом наступної теореми, подивимося на наступну формулу.
У доказі будуть використані основні факти про кіл і площах секторів з кутом θ радіанами і радіусом r
Площа даного сектора визначається як
A = (1/2) .r 2 θ Tеорема 2.8.3
limx → 0 sin (x) / x = 1
Нехай x буде таке, що 0 2 .x = (1/2) x
area of δOBQ = (1/2) base.height = (1/2) (1) .tan (x) = (1/2) tan (x) Так, вищенаведене нерівність перетворюється в
0 Використання теореми стиснення призводить до
limx → 0 cos (x)