Метричний тензор, ріманови простору.
Вираз, що входить в (5.49), при переході від однієї системи до іншої перетвориться як тензор
Іншими словами, є коваріантним симетричним тензором другого рангу. Він називається метричним тензором.
Існують "простору, в яких неможливо ввести декартову систему координат. Одним з двовимірних "просторів" такого типу є поверхня сфери. Якщо в якості координат ввести широту і довготу, то відстань між двома нескінченно близькими точками на поверхні сфери виразиться в такий спосіб через диференціали координат:
Щоб включити подібні безперервні різноманіття в коло аналізованих питань, розглянемо простору з деякими метричним тензором, не зупиняючись на питанні про можливість введення в них декартової системи координат. Освіта, в якому поставлено «квадрат диференціала довжини», т. Е. Інваріантна однорідна квадратична функція диференціалів координат, називається метричним простором або рімановим простором ". Якщо можливо в римановом просторі ввести таку систему координат, в якій метричний тензор в кожній точці буде дорівнює ця система координат буде декартовой, а простір називається евклідовой.
Якщо нескінченно малу відстань визначається співвідношенням
причому інваріант, то є коваріантним тензором. Наше попереднє доказ грунтувалося на припущенні, що дорівнює висловом іншими словами, ми припускали можливість введення декартової системи координат. Для того щоб показати, що трансформаційні властивості не залежать від цього припущення, розглянемо наступне рівняння:
виражає інваріантність Замінюючи зліва через, отримаємо:
В силу довільності можна прирівняти коефіцієнти по обидва боки рівності, таким чином показується справедливість співвідношень (5.60).
Якщо детермінант компонент не дорівнює нулю, можна ввести сукупність нових величин згідно співвідношенням
Щоб отримати їх трансформаційні властивості, перетворимо спочатку. Замінимо їх виразом
далі множимо останнє співвідношення на. В силу (5.59) права частина звертається в для лівої частини отримаємо:
Порівняння (5.66) з (5.64) дає
т. е. є компонентами контраваріантного тензора. Тензор цей симетричний. Це можна показати, множачи (5.64) на. Тоді ліва частина буде дорівнює
в той час як права частина звертається в
т. е. ми бачимо, що
і, порівнюючи це співвідношення з (5.64), знаходимо
Тензор називається контраваріантним метричним тензором. Значення його компонент, як зрозуміло з (5.64), рівні минорам від діленим на детермінант
У декартовій системі координат одно