Різні методи рішення логарифмічних рівнянь спрямовані на зведення рівняння або до найпростішого логарифмическому рівняння, або до рівняння виду «логарифм дорівнює логарифму«.
Одним з таких методів є введення допоміжної змінної.
Почнемо з рівнянь, що зводяться до квадратних. При вирішенні цих, здавалося б, нескладних рівнянь, є нюанси, на які слід звернути увагу, щоб не допустити помилки.
У загальному вигляді рішення стандартного логарифмічного рівняння, що зводиться до квадратному, можна зобразити так:
ОДЗ. f (x)> 0 (в стандартних рівняннях проблем зі сторонніми практично корінням не виникає).
тоді переходимо до рівняння
Якщо квадратне рівняння має два кореня t1 і t2, то, повертаючись до початкової змінної, отримуємо два найпростіший логарифмічних рівняння.
У другому доданку показник ступеня виносимо за знак логарифма:
Коріння цього квадратного рівняння -
Повертаємося до вихідної змінної \
У першому доданку при винесенні показника ступеня за знак логарифма слід врахувати, що цей показник ступеня слід звести в квадрат.
Другий доданок потрібно привести до логарифму по підставі 3:
Рівняння можна спростити, розділивши почленно обидві частини на 5:
У першому доданку логарифм потрібно привести до основи 3. Зверніть увагу - «-1» в результаті зведення в квадрат перетворюється в «+1":
Від логарифма твори переходимо до суми логарифмів, від логарифма приватного - до різниці логарифмів. Важливо: в результаті зведенні в квадрат логарифма твори з'являється формула квадрата суми двочлена:
Аналогічно, при зведенні в квадрат логарифма приватного з'являється формула квадрата різниці двочлена.